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arithmetique modulaire
Posté par darchov
bonjour
j'ai un ptit soucis j dois resoudre ce systeme ds Z/5Z:
3x+2y+z = 1
5x-y-z = 2
5x-2y = 3
comme on est ds Z/5Z je fais les simplifications suivantes :
3x+2y+z = 1
4y+4z = 2
3y = 3
ce qui me donne y = 1
ce qui me pose un probleme c'est que j'ai 4z = 3 et je ne vois pas comment trouver la valeur de z dans Z/5Z
et pour x c'est le meme probleme.
merci a vous de m'aider
Salut !
Z/5Z est un corps, donc 4 a un unique inverse, donc l'equation 4z = 3 a au plus une solution.
apres tu teste les différentes solution et tu vois que z=2 fonctionne, c'est donc l'unique solution de l'équation.
oui et non.
si le n de Z/nZ est petit c'est vraiment le plus rapide.
sinon c'est un probleme équivalent à la recherchedes coeficient de Bezout.
en gros l'inverse d'un nombre q modulo n n'existe que si q est premier avec n, et dans ce cas, il existe u et v telle que que
q*u+n*v=1 (Bezout)
donc modulo n ca donne q*u=1
u est l'inverse de q.
bref cherche l'inverse d'un nombre q modulo n, c'est chercher les coeficient de Bezout entre q et n...
Ce n'est pas du tatonnement, c'est une méthode "exhaustive". Tu testes pour tout z entre 0 et 4. Dès qu'une des valeurs marche, comme Ksilver le remarque, celle-ci est unique: tu as trouvé l'unique solution!
oki merci bcp a vous deux pour vos eclaircissements c'est clair maintenant
pour trouver un inverse on n'a pas d'autre methode que bezout ?
non. d'ailleur si il y avait plus simple, on utiliserait l'inverse pour calculer les coeficients de Bézout plutot ^^