Annuler
connectez vous
arithmétique en post-bac
- Arithmétique dans Z - supérieur
- Exercice : le petit théorème de Fermat
- Équations différentielles : un Cours complet avec des exemples
- Généralités sur les matrices, applications linéaires, changement de base, rang d'une matrice - supérieur
- Ensemble et application Partie II
- Un best-of d'exos de probabilités (après le bac)
- Espaces vectoriels et Applications linéaires - supérieur
Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques SupérieurOn parle exclusivement de maths, pour le supérieur principalement, les BTS, IUT, prépas... Autre ArithmétiqueTopics traitant de arithmétique [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau autre
Arithmétique pas si facile !
Posté par Foxto (invité)
Ami des mathématiques,je vous resolicite pour le probleme d'arithmétique suivant :
p étant premier (supérieur a 5) , montrer que 4p2 + 1 est la somme de 3 carrés ... (en écartant les solutions triviales)
Depuis 2 jours ke l'on m'a posé le probleme, les moqueries fusent... AIdez moi, pour que je garde encore quelque dignité !
MErci
Posté par Foxto (invité)re : Arithmétique pas si facile !
Exactement C cela que j'ai appelé solution triviale, il faut naturellement la somme de 3 carrés (sans 0 o carré)...
Salut !
hum il me semble qu'il y a un théoreme qui dit que : "un nombre et somme de trois caré si et seulement si il n'est pas de la forme 4^h*(8k+7)"
4p²+1 n'est pas divisible par 4 (donc h=0), et n'est pas congru a 7 modulo 8, donc effectivement il est somme de trois caré.
maintenant je ne sais pas comment prouvé le resultat precedent !
Citation :
"un nombre et somme de trois caré si et seulement si il n'est pas de la forme 4^h*(8k+7)"
"un nombre et somme de trois caré si et seulement si il n'est pas de la forme 4^h*(8k+7)"
... tu mémorises des trucs comme ça ?
Bonjour,
il suffit de regarder un carré est soit congru à 0,1,2 ou 4 modulo 8 donc une somme de 3 carrés ne peut etre congru à 7 modulo 8.
Par contre la réciproque(ce qui nous interesse) je ne sais pas la je vois pas.
"... tu mémorises des trucs comme ça ?"
lol non pas du tous, je savais juste que sa existait, apres j'ai cherché sur internet : "fermat somme de trois carrés" et je suis retombé dessu ^^
Bonsoir Cauchy,
Citation :
un carré est soit congru à 0,1,2 ou 4 modulo 8
un carré est soit congru à 0,1,2 ou 4 modulo 8
Peux-tu expliciter, s'il te plaît, ce théorème si c'en est un. Pourquoi te places-tu dans la congruence modulo 8 précisément?
amicalement,
Al
Bonsoir Al-khwarizmi,
j'ai pas repondu au probleme je montrais juste qu'un entier qui est congru à 7 modulo 8 ne peut etre la somme de 3 carrés.
Effectivement si tu regardes modulo 8 les carrés tu as:
n 0 1 2 3 4 5 6 7
n²0 1 4 1 0 1 4 1
et il n'y a aucune combinaison qui fasse 7(0+1+4,1+4+1 etc...).
si 5<p alors on peu ecrire p=5+x ou xest dans l ensemble N on a donc
4(5+x)^2+1=4(25+10x+x^2)+1=10^2+(2x)^2+(40x+1)
or pour tout x dans N 40x+1 est un carree parfait verification x=2 x=3 remarque N .c est N privee de zero
Posté par Foxto (invité)re : Arithmétique pas si facile !
Beau travail doudj mais si p premier tel que p = 5 + x il me semble bizar que 40x + 1 soit un carré parfait
En effet si p = 11 , x = 6 et 40x6+1 = 241 n'est pas un carré parfait ...
Ca serait simpas de le trouver cet exo quand meme !
Merci
Trouvé sur 
:
Citation :
p est un premier plus grand que 5 donc on écrit p=6k+e avec e=+1 ou -1.
Alors 4p²+1=144k²+48ke+5, donc 4p²+1=(8k+2e)²+(8k+e)²+(4k)² et c'est fini.
Le fait que p est premier ne sert à rien, et ça marche pour tous les nombres de forme 6k+e.
p est un premier plus grand que 5 donc on écrit p=6k+e avec e=+1 ou -1.
Alors 4p²+1=144k²+48ke+5, donc 4p²+1=(8k+2e)²+(8k+e)²+(4k)² et c'est fini.
Le fait que p est premier ne sert à rien, et ça marche pour tous les nombres de forme 6k+e.
ouaip ! et j'aimerais bien savoir comment on arrive à trouver des trucs comme ça ! moi,même avec 144k² + 48ke +5, je ne saurais plus quoi faire !