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arithmetique : racines niemes de 1 modulo p
Posté par Mihawk
bonjour,
j'ai encore un probleme avec un exo d'arithmetique.
on me demande de trouver des racines d-ieme de l'unite dans un Z/pZ.
Je sais (theoreme du cours) que si d |(p-1) alors il y en a. De plus il y en a (d) où
est la fonction indicatrice d'Euler.
Cependant a part tout passer au crible... je vois pas trop comment faire...
si vous avez une idée, voici l'enonce :
Citation :
-1- Trouver les racines cubiques de 1 modulo 19
-2- Trouver les racines quatriemes de 1 modulo 17
-3- Trouver les racines septiemes de 1 modulo 29
-4- Résoudre
dans Z/29Z
-1- Trouver les racines cubiques de 1 modulo 19
-2- Trouver les racines quatriemes de 1 modulo 17
-3- Trouver les racines septiemes de 1 modulo 29
-4- Résoudre
-1- 3 | 18 donc il y a des racines. De plus il y en a
or en passant au cribles toutes les possibilites, je trouve 1,7 et 11. Ce qui fait 3 ><
je comprends plus la...
quelqu'un pourrait me dire si quelque chose ne va pas?
y-a-t'il une methode pour resoudre cet exercice autrement qu'en y en allant a la brute? je suppose que oui...
Cool, je peux enfin poster pour suivre ce topic. Faites comme si j'étais pas là.
Salut tout le monde.
salut schumi ^^
recoucou lolo ^^
tu dis que 3 est le nombre de racines primitives, tu veux pas plutot dire ?
et... j'ai rien compris (ce qui est tres possible, j'arrive pas a voir clair dans ce chapitre) ou une racine primitive c'est une racine de l'unite?
auquel cas il y aurait plus de racines n-iemes que de racines n-imes primitives, c'est bien ca?
mais alors le probleme reste entier... comment trouver "gentimment" les racines que l'on cherche?
ou alors y a une subtilité qui m'echappe ><
trouver des racines n-ieme modulo un entier est un probleme tres compliqué, et en géneral si le nombre est pas trop grand la meilleur methode est effectivement de tester toutes les possibilité. (il existe aussi des algorithme probabiliste qui font ca un peu mieux... mais rien de tres pratique pour le faire à la main)
en revanche, je comprend pas bien ta methode pour prévoir le nombes de solutions. parceque je suis d'accord qu'il y en a 3 ^^ (il y en a au plus de 3 car 19 est premeier et tu en as trouvé 3...)
la prevision du nombre de solution etait une erreur de ma part.
j'ai un theoreme du cours qui dit :
il existe des racines primitives d-iemes de l'unite dans Up ssi d | (p-1). Il y en a alors .
où est la fonction indicatrice d'Euler.
donc ce que je comptait c'etait les racines primitives de l'unite...
oui bien sûr c'est phi(3) que je voulais écrire.
Maintenant si d divise p-1 les racines dièmes forment un sous-groupe de cardinal d isomorphe à Z/dZ c'est comme ça que tu sais qu'il a phi(d) générateurs.
oui oui bien sur p est premier!!
donc si je suis bien il suffit de trouver un générateur du sous groupe en question (dont l'ordre sera donc d puisque c'est comme ca qu'on le cherche) et on a toutes les racines d-iemes... non?