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arithmetique : triplets pythagoriciens
Posté par Mihawk
bonjour tout le monde ^^
j'ai quelques problemes sur un exercice d'arithmetique. Cet exercice porte sur les triplets pythagoriciens. Voici l'enonce :
Citation :
Il s'agit de trouver tous les triangles a cotés entiers, c'est a dire de résoudre l'équation diophantienne x² + y² = z². Un triplet de Pythagore est donc un triplet d'entiers strictement positifs (x,y,z) tels que x² + y² = z².
1) Montrer que xyz est multiple de 60.
2) un triplet est dit primitif si pgcd(x,y)=1. Montrer que tout triplet de Pythagore peut s'écrire (nx,ny,nz) avec n entier naturel et (x,y,z) triplet primitif.
3) Soit (x,y,z) un triplet primitif. Montrer que soit x, soit y est pair. On supposera désormais y pair.
4) Montrer que pgcd(z+x, z-x) = 2
5) en déduire que z + x = 2u², que z - x =2v² avec pgcd(u,v) = 1 et u
v modulo 2
6) réciproquement, montrer que si pgcd(u,v) = 1 et uv modulo 2 alors (u²-v², 2uv, u²+v²) est un triplet primitif. Donner des exemples.
7) conclusion : décrire l'ensemble de tous les triplets de Pythagore primitifs puis celui de tous les triplets de Pythagore.
Il s'agit de trouver tous les triangles a cotés entiers, c'est a dire de résoudre l'équation diophantienne x² + y² = z². Un triplet de Pythagore est donc un triplet d'entiers strictement positifs (x,y,z) tels que x² + y² = z².
1) Montrer que xyz est multiple de 60.
2) un triplet est dit primitif si pgcd(x,y)=1. Montrer que tout triplet de Pythagore peut s'écrire (nx,ny,nz) avec n entier naturel et (x,y,z) triplet primitif.
3) Soit (x,y,z) un triplet primitif. Montrer que soit x, soit y est pair. On supposera désormais y pair.
4) Montrer que pgcd(z+x, z-x) = 2
5) en déduire que z + x = 2u², que z - x =2v² avec pgcd(u,v) = 1 et u
v modulo 2
6) réciproquement, montrer que si pgcd(u,v) = 1 et u
v modulo 2 alors (u²-v², 2uv, u²+v²) est un triplet primitif. Donner des exemples.
7) conclusion : décrire l'ensemble de tous les triplets de Pythagore primitifs puis celui de tous les triplets de Pythagore.
Voici ce que j'ai fait :
Citation :
1) Montrer que xyz est multiple de 60.
1) Montrer que xyz est multiple de 60.
Là j'ai un probleme... je ne vois absolument pas par ou partir... si quelqu'un a une piste (pas une resolution hein!! juste une piste) je suis preneur...
Citation :
2) un triplet est dit primitif si pgcd(x,y)=1. Montrer que tout triplet de Pythagore peut s'écrire (nx,ny,nz) avec n entier naturel et (x,y,z) triplet primitif.
2) un triplet est dit primitif si pgcd(x,y)=1. Montrer que tout triplet de Pythagore peut s'écrire (nx,ny,nz) avec n entier naturel et (x,y,z) triplet primitif.
ca j'ai fait :
Soit (x,y,z) un triplet de Pythagore. Supposons pgcd(x,y) = n
1.
Alors il existe x' et y' entiers naturels tels que x = nx' et y = ny' avec x' et y' premiers entre eux.
Il vient alors : x² + y² = n²x'² + n²y'² = z²
D'où : n² | z² puis n | z et donc il existe z' entier naturel tel que z = nz'.
Ainsi (x,y,z) peut s'ecrire (nx',ny',nz') avec (x',y',z') primitif.
Citation :
3) Soit (x,y,z) un triplet primitif. Montrer que soit x, soit y est pair. On supposera désormais y pair.
3) Soit (x,y,z) un triplet primitif. Montrer que soit x, soit y est pair. On supposera désormais y pair.
en gros, on veut montrer que x et y ne peuvent avoir la meme parite.
si x et y sont pairs tous les deux alors leur pgcd est multiple de 2 et donc ils ne sont pas premiers entre eux : impossible par hypothese
si x et y sont impairs tous les deux : il existe k et n entiers naturels tels que : x = 2k+1 et y = 2n+1
on a alors : z² = 4(k² +n² +k +n) +2. On remarque que 2 | z².
Or z est un entier positif, ce qui signifie que z² s'ecrit avec des puissances multiples de 2 de nombres premiers. Ainsi, si 2 | z² alors 4 | z², ce qui est faux. Donc z n'est pas entier. Il y a une contradiction. x et y ne sont donc pas impairs en meme temps.
le dernier cas est : x impair et y pair (quitte a intervertir les roles de x et y on peut supposer cela). Or on sait que (3,4,5) est un triplet de pythagore primitif. Donc l'ensemble n'est pas vide. Ainsi : x et y ne peuvent etre de meme parite.
Citation :
4) Montrer que pgcd(z+x, z-x) = 2
4) Montrer que pgcd(z+x, z-x) = 2
là j'ai un probleme. Le mieux que j'arrive a faire est montrer que 2 divise le pgcd de z-x et z+x.
on a x impair et y pair, alors x² et y² sont respectivement impair et pair et donc z² est impair, ce qui signifie que z est impair.
z-x et z+x sont donc pairs tous les deux. Leur pgcd est donc un multiple de 2.
Et je n'arrive pas a montrer que z-x et z+x n'ont pas d'autres facteurs premiers en commun. Si quelqu'un a une idée... je suis preneur.
Citation :
5) en déduire que z + x = 2u², que z - x =2v² avec pgcd(u,v) = 1 et uv modulo 2
5) en déduire que z + x = 2u², que z - x =2v² avec pgcd(u,v) = 1 et u
v modulo 2On suppose pgcd(z-x,z+x) = 2. Alors il existe p et q entiers naturels tels que z+x = 2p et z-x = 2q avec pgcd(p,q) = 1.
On en déduit que 2p-x = 2q+x et donc que p = q+x. Or, par hypothese, x est impair. Ainsi, p et q ne sont pas de meme parite.
De plus, on a y² = z² - x² = (z+x)(z-x) = 4pq.
Ce qui implique que pq est un carré. Or p et q sont premiers entre eux. Ils n'ont aucun facteur premier en commun. La seule solution est donc que p et q s'ecrivent comme des carrés.
On a donc : Il existe u entier naturel tel que p = u² et il existe v entier naturel tel que q = v².
Pour résumer : z+x = 2u² , z-x = 2v², avec u et v premiers entre eux (car p et q le sont) et u et v ne sont pas de meme parite (car p et q ne sont pas de meme parite). C'est ce qu'on cherchait.
Citation :
6) réciproquement, montrer que si pgcd(u,v) = 1 et uv modulo 2 alors (u²-v², 2uv, u²+v²) est un triplet primitif. Donner des exemples.
6) réciproquement, montrer que si pgcd(u,v) = 1 et u
v modulo 2 alors (u²-v², 2uv, u²+v²) est un triplet primitif. Donner des exemples. La j'ai un probleme. J'arrive sans problemes a montrer que le triplet que nous donne l'enonce est bien un triplet pythagoricien mais je n'arrive pas a montrer que u²-v² et que 2uv sont premiers entre eux. Si quelqu'un a une idée...
Citation :
7) conclusion : décrire l'ensemble de tous les triplets de Pythagore primitifs puis celui de tous les triplets de Pythagore.
7) conclusion : décrire l'ensemble de tous les triplets de Pythagore primitifs puis celui de tous les triplets de Pythagore.
Je ne me suis pas vraiment pencher sur cette question mais je suppose que l'ensemble des triplets primitifs est { (u²-v², 2uv, u²+v²) tels que pgcd(u,v) = 1 et u
v modulo 2}.
On aurait alors que l'ensemble des triplets de pythagore est : { (n(u²-v²), 2nuv, n(u²+v²)) tels que n entier naturel, pgcd(u,v) = 1 et u
v modulo 2}.
Il semblerait que j'ai encore pondu un pavé... aussi je remercie tous ceux qui ont eu le courage de tout lire ^^
Merci d'avance.
Mihawk
Salut, 
Pour le premier: montre qu'il y en a au deux divisibles par 2, un autre divisible par 3 et encore un autre divisible par 5.
Ah, voilà, je viens de remettre la main dessus.
Jett un oeil, je pense que ça pourra t'aider à débloquer. Regarde les questions posées et non les réponses données si tu veux trouver seul.
Evidemment, j'oublie de mettre le lien... 
Résoudre une équation à trois inconnues
merci pour le lien, j'ai survolé le topic mais j'ai l'impression que les questions sont les memes que celles de mon exercice...non?
je vais regarder plus en détail.
Pour la premiere question par contre, je ne vois pas du tout comment partir...
a la limite j'aurai mettre xyz au carre, remplacer z² par x²+y² et developper...mais ca me donne des trucs tout moche qui ne servent pas...
Non, séparemment, montre séparemment que parmi les trois nombres x, y et z vérifiant la relation, ... ...
peut-etre un debut :
si on suppose qu'aucun n'est pair, alors y a une contradiction : en effet : x² + y² est un somme de deux impairs, ca donne un pair.
Donc il y a au moins un des trois qui est pair.
je continue a chercher pour le reste
je vois pas du tout pour le reste... j'ai l'impression d'avancer dans le noir total...
un autre indice? ^^;
En fait, désolé , je me suis viandé.
Faut montrer qu'il y en a au moins divisible par 3, un par 4 et un par 5.
Avec les congruences il y en a des trois qui marche très bien mais j'ai oublié lequel. Si je retrouve je te le dirai.
Bonjour
Pourrait on savoir où en sont les recherches sur ce topic ou bien c'est à l'abandon?
Ca m' intéresse. Merci
ok ben alors ca attendra ^^
j'ai pas mal de taff la ^^;
si d'ici une semaine j'ai rien poster ici hesite pas a reposter pour me le rappeler ^^
Bonjour,
ce sujet est-il encore d'actualité ?
Parce que j'ai la réponse à cette question si ça intéresse du monde :
Citation :
Faut montrer qu'il y en a au moins divisible par 3, un par 4 et un par 5.
Faut montrer qu'il y en a au moins divisible par 3, un par 4 et un par 5.
Oh ben c'est quand meme vraiment élémentaire...je pense que l'interessé a du trouver en pas loin d'un an