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arithmétiques

Posté par rust (invité) 16-05-06 à 22:52

bonsoir,

on considère 3$n=\prod_{k=1}^r p_k^{a_k} avec p_k un nombre premier.

Montrer que le nombre de diviseurs de n est 3$\prod_{k=1}^r (a_k+1).

Je ne vois vraiment pas comment partir, merci de votre aide.

Posté par
Cauchyre : arithmétiques 16-05-06 à 23:02

Bonsoir rust,

les diviseurs de n  sont de la forme \prod_{k=1} ^{r}p_k^{b_k} avec 0 \leq b_k \leq a_k (0 c'est les diviseurs de n ou n'apparaissent pas p_k).

Donc pour chaque k ,b_k prend (a_k+1) valeurs possibles donc le nombre de diviseurs est \prod_{k=1}^{r} (a_k+1)

Posté par
minkus Posteur d'énigmesre : arithmétiques 16-05-06 à 23:05

Bonsoir,

Reflechis a la facon d'obtenir un diviseur, tu peux prendre du p1 du p2 du p3....

Pour le premier facteur tu as a1 + 1 possibilites a savoir p1^0, p1^1, p1^2 ....p1^a1

Et c'est pareil pour chaque pk.

c'est un peu du denombrement : ak+1 possibilites pour chaque pk

Okay ?

Posté par
minkus Posteur d'énigmesre : arithmétiques 16-05-06 à 23:07

Bon comme d'habitude Cauchy est plus rapide et surtout plus rigoureux...

Posté par
Cauchyre : arithmétiques 16-05-06 à 23:10

Bonsoir minkus

ton explication est moins austere disons elles se completent. En fait on reflechit d'abord comme t'as fait et on ecrit ce que j'ai ecrit apres donc faudrait inverser les messages

Posté par
minkus Posteur d'énigmesre : arithmétiques 16-05-06 à 23:14

Oui c'est vrai et l'essentiel c'est qu'il ait compris.

Posté par rust (invité)re : arithmétiques 17-05-06 à 13:40

merci de votre aide,

en fait je comprend bien que les diviseurs possibles sont :

1,p_1,p_2,p_3,p_3,.....,p_1^2,p_2^2,....,p_1^3,.....,p_n^n,..p_1p_2,p_1p_3,......,p_1p_2p_3
Mais je n'arrive pas a le rédiger clairement

Posté par rust (invité)re : arithmétiques 17-05-06 à 13:41

je me suis trompé en tapant, je voulais ecrire :
1,p_1,p_2,p_3,p_3,.....,p_1^2,p_2^2,....,p_1^3,.....,p_r^r,..p_1p_2,p_1p_3,......,p_1p_2p_3,....

Posté par rust (invité)re : arithmétiques 17-05-06 à 18:46

bien, alors je propose une demonstration par recurrence sur r:

Supposons que 3$n=\prod_{k=0}^r p_k^{a_k} possède 3$\prod_{k=0}^r (a_k+1) diviseurs

Pour r=0, on a bien p_0^{a_0} possède a_0+1 diviseurs : 1,p_0,p_0^2,...,p_0^{a_0}

3$n=\prod_{k=0}^{r+1} p_k^{a_k}=\prod_{k=0}^{r} p_k^{a_k} \times p_{r+1}^{a_{r+1}}

Or 3$\prod_{k=0}^{r} p_k^{a_k} possède 3$\prod_{k=0}^r (a_k+1) diviseurs
Et p_{r+1}^{a_{r+1}} possède a_{r+1}+1 diviseurs.

Donc 3$n=\prod_{k=0}^{r+1} p_k^{a_k} possède \prod_{k=0}^r (a_k+1) \times (a_{r+1}+1)=\prod_{k=0}^{r+1} (a_k+1).

Donc ca semble marcher, mais ai-je le droit de dire :
Si n possède a diviseurs, et p possède b diviseurs, alors np possède ab diviseurs ?

Posté par rust (invité)re : arithmétiques 17-05-06 à 22:15

s'il vous plait, ai-je le droit de dire :


Si n possède a diviseurs, et p possède b diviseurs, alors np possède ab diviseurs ?

Et si c'est possible j'aimerais bien la demonstration, parce que j'utilise cette propriété dans une autre demonstration, mais je suis pas sur.
Merci

Posté par
minkus Posteur d'énigmesre : arithmétiques 17-05-06 à 22:20

Bonsoir,

Tu as le droit si n et p sont premiers entre eux

Exemple :

3 divise 3 et 3 divise 6 mais 9 ne divise pas 15

en revanche 3 divise 3 et 2 divise 8 donc 6 divise 24 car 3^8=1

Posté par
minkus Posteur d'énigmesre : arithmétiques 17-05-06 à 22:21

Je me rends compte que je n'ai pas vraiment repondu a ta question sur le nombre de diviseurs mais ce que je t'ai dit suffit a comprendre je pense

Posté par rust (invité)re : arithmétiques 17-05-06 à 22:28

en fait ce que tu dis, c'est que ab divise np si n et p sont premier entre eux, c'est bien ca ?

en fait, je n'arrive pas a voir comment ca repond a ma question.


En fait j'utilise cette propriété dans ma recurrence, donc j'aimerais savoir comment justifier.
Merci

Posté par
minkus Posteur d'énigmesre : arithmétiques 17-05-06 à 22:35

Pour qu'il y ait ab diviseurs de np, il faut qu'a chaque fois que tu prends un diviseur de n et un diviseur de p, leur produit soit un diviseur de np, ce qui n'est pas vrai si les nombres ne sont pas premiers entre eux.

Ici tes nombres sont tous premiers donc ca marche.


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