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Niveau Reprise d'études
Astuces pour trouver les valeurs propres d'une matrice
Posté par manu_du_40
Bonjour à tous.
Je pose peut-être une question assez générale...
Pour chercher les valeurs propres d'une matrice, la méthode générale est de calculer son polynôme caractéristique puis de rechercher ses racines.
Cependant, cette méthode nécessite parfois beaucoup de calculs et je sais que j'ai parfois tendance à faire des erreurs lorsque je pars dans des calculs compliqués de déterminant. Je vois souvent des professeurs qui arrivent à trouver des valeurs propres "au feeling".
Par exemple, la dernière astuce que j'ai entendu (je ne connaissais pas) :
- si la somme de toutes les lignes d'une matrice est constante, alors cette somme est une valeur propre.
Ma question est donc : qu'existe-t-il comme autres astuces géniales de ce genre pour trouver des valeurs propres "évidentes" ?
J'ai l'impression que dans plein d'exos, on peut s'épargner la peine de calculer le polynôme caractéristique. De plus, ça peut être utile pour résoudre des exercices plus théoriques.
Je vous en remercie 
Manu 
Bonjour,
La structure de la matrice peut aider : diagonale ou triangulaire par blocs par exemple.
On peut voir facilement dans certains cas le rang de pour une certaine valeur
, ce qui donne des infos sur la multiplicité de la valeur propre.
Si on connaît toutes les valeurs propres sauf une, la trace nous donne la dernière.
Exemple : quelles sont les valeurs propres de la matrice de taille n qui a des 1 partout, sauf sa diagonale qui a des 0 partout ?
@GBZM :
pour ton exemple (et grace à tes explications), je dirais que si je calcule , j'obtiens une matrice qui n'a que des 1 donc elle est de rang 1 et son noyau est donc de rang
.
Donc 1 est v.p de multiplicité ou n. Mais comme la trace est nulle, la somme des valeurs propres est égale à 0 donc 1 ne peut pas être de multiplicité n (sinon, l'endomorphisme associé serait l'identité de toute façon...).
La dernière v.p est donc n-1.
@ jeanseb
Rien ne me saute aux yeux mais je cherche...
@jeanseb,
il a fallu que je calcule le polynome caractéristique pour comprendre mais en effet, la v.p 3 pouvait être visible en constatant que si on enlève 3 sur la diagonale, on obtient une colonne nulle.
Bien vu celle-là aussi
Si vous en connaissez d'autres, n'hésitez pas.
@GBZM
je me rends compte que j'ai dit une bêtise. C'est -1 la valeur propre de multiplicité n-1 et pas 1.
jeanseb @ 14-03-2021 à 16:40
Tu as la valeur propre, mais aussi un vecteur propre, direct.
Tu as la valeur propre, mais aussi un vecteur propre, direct.
En effet... Vect(0,1,0). Faut vraiment que je m'entraîne sur ces trucs. Ca permet de gagner beaucoup de temps.
Merci à vous deux et si d'autres intervenants veulent participer et connaissent encore d'autres astuces, n'hésitez pas
Manu