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Asymptote oblique

Posté par
sabotage 17-09-06 à 17:26

Bonjour !

J'ai un petit problème concernant la position d'une asymptote par rapport à une courbe. Voici l'énoncé :

f est la fonction définie sur R par : f(x)=x+(\frac{x}{\sqrt{x^2+9}}).
On sait que la droite d d'équation y=x+1 est asymptote oblique à Cf en +oo.
Etudiez la position de Cf par rapport à d.

J'ai trouvé par calculs, que Cf était au-dessus de d, mais la calculatrice me prouve le contraire.

Où est mon erreur ?

Merci d'avance

Posté par
littleguyre : Asymptote oblique 17-09-06 à 17:38

Bonjour

Tu peux montrer ton calcul ?

Posté par
sabotagere : Asymptote oblique 17-09-06 à 17:44

Ouki, alors, ça donne ça :
x\ge0 donc
f(x)-y \\ = \frac{9}{(sqrt{x^2+9})(x+\sqrt{x^2+9}) \\ = \frac{9}{(x+3})(2x+3)

9>0
x+3>0 car
x\ge0 \\ x+3\ge3 \\ x+3>0

2x+3>0 car
x\ge0 \\ 2x\ge0 \\ 2x+3\ge3
2x+3>0

Donc, la courbe Cf se situe au-dessus de d.

J'ai fait une erreur de calcul ? :s

Posté par
sabotagere : Asymptote oblique 17-09-06 à 17:45

Désolée, ré-edit :

Ouki, alors, ça donne ça :
x\ge0 donc
f(x)-y \\ = \frac{9}{(sqrt{x^2+9})(x+\sqrt{x^2+9}) \\ = \frac{9}{(x+3)}(2x+3)

9>0
x+3>0 car
x\ge0 \\ x+3\ge3 \\ x+3>0

2x+3>0 car
x\ge0 \\ 2x\ge0 \\ 2x+3\ge3
2x+3>0

Donc, la courbe Cf se situe au-dessus de d.

J'ai fait une erreur de calcul ? :s

Posté par
sabotagere : Asymptote oblique 17-09-06 à 17:46

Re désolée pour la multiple édition

Ouki, alors, ça donne ça :
x\ge0 donc
f(x)-y \\ = \frac{9}{(sqrt{x^2+9})(x+\sqrt{x^2+9}) \\ = \frac{9}{(x+3)(2x+3)}

9>0
x+3>0 car
x\ge0 \\ x+3\ge3 \\ x+3>0

2x+3>0 car
x\ge0 \\ 2x\ge0 \\ 2x+3\ge3
2x+3>0

Donc, la courbe Cf se situe au-dessus de d.

J'ai fait une erreur de calcul ? :s

Posté par
littleguyre : Asymptote oblique 17-09-06 à 17:50

Pourquoi prends-tu x positif ?

Je vois les choses comme ça :

f(x)-(x+1)=\frac{x}{\sqrt{x^2+9}}-1

f(x)-(x+1)=\frac{x-\sqrt{x^2+9}}{\sqrt{x^2+9}}

- il est clair que si x est négatif, cette expression est négative.

- Examinons le cas où x est positif :

en utilisant l'expression conjuguée du numérateur il vient

f(x)-(x+1)=\frac{-9}{\sqrt{x^2+9}(x+\sqrt{x^2+9})}

ce qui donne encore un réel négatif.

- Donc la courbe est toujours au-dessous de son asymptote

sauf erreur, vérifie !

Posté par
littleguyre : Asymptote oblique 17-09-06 à 17:52

Au passage : \sqrt{x^2+9} n'est pas égal à x+3

Posté par
sabotagere : Asymptote oblique 17-09-06 à 17:56

J'ai prétendu que x est positif car d est asymptote à Cf en +oo, c'est faux ?

Ensuite, \sqrt{x^2+9} vaut quoi ? Parce que mon prof a écrit que : \sqrt{X^2} = |X| = X si X \ge0

Je vais vérifier mes calculs...

Posté par
sabotagere : Asymptote oblique 17-09-06 à 18:01

C'est bon ^^ Une erreur de signe !

Par contre,avant de clore le sujet, j'aimerais bien connaître les réponses à mes quesions précédentes, histoire de ne pas refaire la même erreur une prochaine fois

Posté par
littleguyre : Asymptote oblique 17-09-06 à 18:03

1) Etudier la position de (C) par rapport à (D) signifie implicitement la plupart du temps une étude générale. Il faut voir ça avec ton prof, peut-être demande-t-il une étude locale.
Mais si c'était le cas il suffirait simplement d'examiner si la limite de f(x)-(x+1) est 0+ ou 0-.

2) (x+3)² = x²+6x+9, rien à voir avec x²+9...

Posté par
sabotagere : Asymptote oblique 17-09-06 à 18:06

1) Ok, c'est compris

2) Ouh la, oui, grosse boulette là !

Bon, ben j'ai plein de changements à faire !

Merci beaucoup ! (Je repasserai sûrement pour un autre exercice, mais j'espère pas ^^)

Posté par
sabotagere : Asymptote oblique 17-09-06 à 18:14

Encore une question :$

Quand on a :
-x+\sqrt{x^2+1}

et que x est positif ou nul, quel est le signe de -x+\sqrt{x^2+1} ?

Posté par
sabotagere : Asymptote oblique 17-09-06 à 18:15

Enfin, je veux dire, comment prouver qu'il est positif ?

Posté par
littleguyre : Asymptote oblique 17-09-06 à 18:20

par exemple comme ça :

\sqrt{x^2+1}-x=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}+x}

ou alors x²+1 > x², ensuite on applique la fonction racine carrée (croissante)

Posté par
sabotagere : Asymptote oblique 17-09-06 à 18:27

Je prends note !

Merci beaucoup, tu m'as rendue un grand service !

Posté par
littleguyre : Asymptote oblique 17-09-06 à 18:36


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