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Asymptotes

Posté par
Samsco
16-05-20 à 16:26

Bonjour j'ai besoin de votre aide svp

Exercice :

Dans chacun des cas suivants , déterminer les asymptotes à la courbe représentative (C) de la fonction f.

a) f(x)=\dfrac{2x-1}{x+1} \\  \\ b) f(x)=\dfrac{2x-1}{x²-1} \\  \\ c) f(x)=\dfrac{2x²-1}{x²-1} \\  \\ d) f(x)=\dfrac{2x-1}{\sqrt{x²-1}}

Réponses :

a) D_f=]-\infty~;~-1[\cup]-1~;~+\infty[ \\  \\ \lim_{x \to -\infty}f(x)=\lim_{x \to -\infty}\dfrac{2x-1}{x+1}=\lim_{x \to -\infty}\dfrac{2x}{x}=2 \\  \\  \lim_{x \to +\infty}f(x)=2
donc la droite d'équation y=2 est asymptote à la courbe (C) en -\infty~et~en~+\infty

 \lim_{x \to -1 \atop x<-1}f(x)=\lim_{ x \to -1 \atop x<-1}(2x-1)(\dfrac{1}{x+1})=+\infty \\  \\  \lim_{x \to -1 \atop x>-1}f(x)=-\infty
La droite d'équation x=-1 est asymptote à (C)

b) f(x)=\dfrac{2x-1}{x²-1} \\ D_f=]-\infty~;~-1[\cup]-1~;~1[\cup]1~;~+\infty[ \\  \\ \lim_{x \to -\infty}f(x)=\lim_{x \to -\infty}\dfrac{2x}{x²}=0 \\  \\  \lim_{x \to -\infty}f(x)=0
La droite (OI) est asymptote à la courbe (C) en -\infty~et~en~+\infty

 \lim_{x \to -1 \atop x<-1}f(x)=\lim_{x \to -1 \atop x<-1}(2x-1)(\dfrac{1}{x²+1})=-\infty \\  \\  \lim_{x \to -1 \atop x<-1}f(x)=+\infty
La droite d'équation x=-1 est asymptote à la courbe (C)

 \lim_{x \to 1 \atop x<1}f(x)=\lim_{x \to 1 \atop x<1}(2x-1)(\dfrac{1}{x²-1})=-\infty \\  \\ \lim_{ x \to 1 \atop x>1}f(x)=+\infty \\
La droite d'équation x=1 est asymptote à (C)

Posté par
hekla
re : Asymptotes 16-05-20 à 16:39

Bonjour

Oui

Posté par
malou Webmaster
re : Asymptotes 16-05-20 à 16:41

Bonjour
as-tu eu l'idée de tracer tes représentations graphiques avec geogebra par exemple pour te vérifier ?

Posté par
hekla
re : Asymptotes 16-05-20 à 16:44

il faudrait distinguer les cas  vous avez fait un copier-coller  pas partout

a) deux asymptotes y= 2 et x=-1

b) 3 asymptotes  y=2\   x=-1\   x=1

Posté par
Samsco
re : Asymptotes 16-05-20 à 17:04

malou @ 16-05-2020 à 16:41

Bonjour
as-tu eu l'idée de tracer tes représentations graphiques avec geogebra par exemple pour te vérifier ?

Non! , je ne sais pas comment voir les asymptotes ( je sais juste les tracer)

Posté par
Samsco
re : Asymptotes 16-05-20 à 17:10

b) f(x)=\dfrac{2x-1}{x+1}=\dfrac{2x-3+2}{x+1}=\dfrac{2x+2}{x+1}-\dfrac{3}{x+1}=2-\dfrac{3}{x+1}
 \\ 
 \\ * \lim_{x \to +\infty}[f(x)-2]=\lim_{x \to +\infty}-\dfrac{3}{x+1}=0
 \\ 
 \\ * \lim_{x \to -\infty}[f(x)-2]=0

donc la droite d'equation y=2 est asymptote à la courbe (C) en +\infty~et~en~-\infty

Posté par
malou Webmaster
re : Asymptotes 16-05-20 à 17:12

a)

Asymptotes

Posté par
Samsco
re : Asymptotes 16-05-20 à 17:18

malou @ 16-05-2020 à 17:12

a)

Asymptotes


Ah c'est ce que j'ai trouvé

Posté par
malou Webmaster
re : Asymptotes 16-05-20 à 17:19

b)

Asymptotes

je t'en ai fait deux, tu feras les autres....

Posté par
hekla
re : Asymptotes 16-05-20 à 17:21

Vous redémontrez ce que vous avez déjà écrit  

asymptote  parallèle  à l'axe des abscisses   y= \ell

\displaystyle \lim_{x\to \infty} =\ell

à l'axe des ordonnées  non définie en un point  et limite infinie  quand x tend vers ce point

non parallèle aux axes y=ax+b   limite infinie, limite de  f (x)/x =a et  \lim (f(x)-a x)= b

Posté par
Samsco
re : Asymptotes 16-05-20 à 17:27

malou @ 16-05-2020 à 17:19

b)

Asymptotes

je t'en ai fait deux, tu feras les autres....


D'accord

Posté par
Samsco
re : Asymptotes 16-05-20 à 17:43

c)f(x)=\dfrac{2x²-1}{x²-1} \\ D_f=]-\infty~;~-1[\cup]-1~;~1[\cup]1~;~+\infty[ \\  \\  \lim_{x \to +\infty}f(x)=\lim_{x \to +\infty}\dfrac{2x²}{x²}=2 \\  \\  \lim_{ x \to -\infty}f(x)=2
donc la droite y=2 est asymptote à(C) en +\infty~et~en~-\infty

\lim_{x \to -1 \atop x<-1}f(x)=\lim_{x \to -1 \atop x<-1}(2x²-1)(\dfrac{1}{x²-1})=+\infty \\  \\ \lim_{x \to -1 \atop x>-1}f(x)=\lim_{x \to -1 \atop x>-1}f(x)=-\infty
La droite d'équation x=-1 est asymptote à (C)

\lim_{x \to 1 \atop x<1}f(x)=\lim_{x \to 1 \atop x<1}(2x²-1)(\dfrac{1}{x²-1})=-\infty \\  \lim_{x \to 1 \atop x>1}f(x)=\lim_{ x \to 1 \atop x>1}=+\infty
La droite d'équation x=1 est asymptote à (C)

 \lim_{x \to +\infty}\dfrac{f(x)}{x}=\lim_{x \to +\infty}\dfrac{2x²-1}{x³-x}=0 \\
La droite d'équation y=2 est asymptote à (C)

Posté par
Samsco
re : Asymptotes 16-05-20 à 17:52

Voici le graphique

Asymptotes

Posté par
hekla
re : Asymptotes 16-05-20 à 18:10

Cela paraît correct

Posté par
Samsco
re : Asymptotes 16-05-20 à 19:39

D'accord

d) f(x)=\dfrac{2x-1}{\sqrt{x²-1}} \\ D_f=]-\infty~;~-1[\cup]1~;~+\infty[ \\  \\ * \lim_{x \to +\infty}f(x)=\lim_{x \to +\infty}\dfrac{x(2-\frac 1 x)}{x\sqrt{1-\frac{1}{x²}}} =2 \\  \\ \lim_{x \to -\infty}f(x)=\lim_{x \to -\infty}\dfrac{x(2-\frac 1 x)}{-x\sqrt{1-\frac{1}{x²}}}=-2

Les droites d'équations y=2 et y=-2 sont asymptotes à (C) respectivement en +\infty~et~en~-\infty

 \lim_{ x \to -1 \atop x<-1}f(x)=\lim_{x \to -1 \atop x<-1}(2x-1)(\dfrac{1}{\sqrt{x²-1}})=-\infty \\  \\  \lim_{x \to 1 \atop x>1}f(x)=\lim_{x \to 1 \atop x>1}(2x-1)(\dfrac{1}{\sqrt{x²-1}})=+\infty
Les droites d'équations x=-1 et x=1 sont asymptotes à (C)

Posté par
Samsco
re : Asymptotes 16-05-20 à 19:47

Voilà

Asymptotes

Posté par
malou Webmaster
re : Asymptotes 16-05-20 à 19:59

Samsco, ne mets pas d'étoile en début de ligne, cela fait plusieurs fois que je les enlève, car le Ltx semble perturbé et l'affichage était mauvais

Posté par
carpediem
re : Asymptotes 16-05-20 à 20:08

salut

il est toujours dangereux d'écrire une suite d'égalité de limite sans rien vérifier ... en particulier lorsque l'une d'entre elles contient une forme indéterminée comme ici par exemple :

Samsco @ 16-05-2020 à 17:43


 \lim_{x \to +\infty}f(x)=\lim_{x \to +\infty}\dfrac{2x²}{x²}=2

 \lim_{x \to +\infty}\dfrac{f(x)}{x}=\lim_{x \to +\infty}\dfrac{2x²-1} {x ³-x}=0

la deuxième cumulant d'ailleurs deux FI : oo/(oo - oo)

pour calculer les limites de f à l'infini, en -1 et en 1 j'écris f(x)sous les trois expression suivantes :    f(x) = \dfrac {2x^2 - 1} {x^2 - 1} = 2 - \dfrac 3 {x^2 - 1} = \dfrac {2x^2 - 1} {x - 1} \times \dfrac 1 {x + 1} = \dfrac {2x^2 - 1} {x + 1} \times \dfrac 1 {x - 1}

la première expression me donne de plus l'asymptote immédiatement ...

pour les deux dernières je calcule/donne la limite de chaque facteur et je conclus par produit ...

d'autre part on peut noter que f est paire donc il suffit de calculer les limites en +oo et en 1 pour avoir celle en -oo et en -1 ...

Posté par
Samsco
re : Asymptotes 16-05-20 à 22:05

malou @ 16-05-2020 à 19:59

Samsco, ne mets pas d'étoile en début de ligne, cela fait plusieurs fois que je les enlève, car le Ltx semble perturbé et l'affichage était mauvais  

Ah je savais ,je ne savais!

Posté par
Samsco
re : Asymptotes 16-05-20 à 22:13

carpediem

Je suis allé allé un peu vite parce que l'exercice est long à faire , si j'écrivais tout dans les détails , avec Ltx , ce serait encore plus long.

Posté par
carpediem
re : Asymptotes 17-05-20 à 09:08

pas du tout !!! mauvaise excuse !!!

on mets autant de temps sinon moins à écrire proprement (= mathématiquement) les choses et même avec latex ou un peu de latex ...

c'est long parce que tu écris des égalités de limites (qui sont donc fausses (FI) ou inutiles)

il suffit d'écrire des égalités d'expressions et de ne calculer qu'une limite à la fin !!!

Posté par
Samsco
re : Asymptotes 17-05-20 à 22:36

carpediem @ 17-05-2020 à 09:08

pas du tout !!! mauvaise excuse !!!

on mets autant de temps sinon moins à écrire proprement (= mathématiquement) les choses et même avec latex ou un peu de latex ...

c'est long parce que tu écris des égalités de limites (qui sont donc fausses (FI) ou inutiles)



Même sans les égalités de limite , ça reste long.

Posté par
Samsco
re : Asymptotes 17-05-20 à 22:37

Merci pour tout !

Posté par
malou Webmaster
re : Asymptotes 18-05-20 à 08:25



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