f(x)=cos(sin x)- sin(cos x).

g(x) = sin(x) - x
g'(x) = cos(x) - 1
et comme -1 <= cos(x) <= 1, on a g'(x) <= 0 -> g(x) est décroissante
g(0) = 0 -> g(x) <= 0 pour x dans [0 ; Pi/2]
sin(x) - x <= 0
sin(x) <= x pour x dans [0 ; Pi/2]   (1)

h(x) = sin(x) - (2/Pi).x
h '(x) = cos(x) - (2/Pi)
h''(x) = -sin(x)
h''(x) <= 0 pour x dans [0 ; Pi/2] -> h'(x) est décroissante.
h'(0) = 1 - (2/Pi) = 0,36... > 0
h'(Pi/2) = 0 - 1 = -1 < 0
Donc h'(x) s'annule pour une et une seule valeur xo de x dans  ]0 ; Pi/2[

h'(x) >  0 pour x dans [0 ; xo[ -> h(x) croissante.
h'(x) = 0 pour x = xo
h'(x) < 0 pour x dans ]xo ; Pi/2] -> h(x) décroissante.

La valeur minimale de h(x) pour x dans [0 ; Pi/2], est donc soit en x = 0, soit en x = Pi/2
h(0) = 0
h(Pi/2) = 1 - 1 = 0

Conclusion: h(x) >= 0 pour x dans [0 ; Pi/2]
sin(x) - (2/Pi).x > = 0
sin(x) >= (2Pi)x pour x dans [0 ; Pi/2]  (2)
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(1) et (2) ->
(2/Pi).x <= sin(x) <= x
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cosinus est décroissant pour son argument dans [0 ; Pi/2] ->
Avec x dans [0 ; Pi/2], on a:
(2/Pi).x <= sin(x) <= x
cos((2/Pi).x) >= cos(sin(x)) >= cos(x)

cos(sin(x)) >= cos(x).  (3)
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(2/Pi).x <= sin(x) <= x
Comme cos(x) est dans [0 ; 1] si s est dans [0 ; Pi/2], on peut écrire.

(2/Pi).cos(x) <= sin(cos(x)) <= cos(x)
sin(cos(x)) <= cos(x)   (4)
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f(x)=cos(sin x)- sin(cos x)
avec (3) et (4) ->
f(x) >= cos(x) - cos(x)
f(x) >= 0
cos(sin x)- sin(cos x) >=0
cos(sin(x)) >= sin(cos(x) pour x dans [0 ; Pi/2]

f(-x) = cos(sin(-x)) - sin(cos(-x))
f(-x) = cos(-sin(x)) - sin(cos(x))
f(-x) = cos(sin(x)) - sin(cos(x))
f(-x) = f(x)
f est paire et donc la courbe la représentant est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.

-> on a aussi  f(x) >= 0 pour x dans [-Pi/2 ; 0]

-> cos(sin(x)) >= sin(cos(x) pour x dans [-Pi/2 ; Pi/2]
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f(x)=cos(sin x)- sin(cos x).
Pour x dans ]Pi/2 ; Pi], 0 <= sin(x) <= 1 -> cos(sin(x)) > 0
Pour x dans ]Pi/2 ; Pi], -1 <= cos(x) <= 0 -> sin(cos(x)) < 0

-> f(x) > 0 pour x dans ]Pi/2 ; Pi]
Par la parité de f, on a aussi: f(x) > 0 pour x dans [-Pi ; -Pi/2[

-> Jusqu'ici, on a montré que:
cos(sin(x)) >= sin(cos(x) pour x dans [-Pi ; Pi]
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f(x)=cos(sin x)- sin(cos x).
f(x+2Pi)=cos(sin(x+2Pi))- sin(cos(x+2Pi)).
f(x+2Pi)=cos(sin x)- sin(cos x).
f(x+2Pi)=f(x)

Et donc f est 2Pi périodique.

Comme on a montré que f(x) >= 0 sur toute une période, on a f(x) >= 0 pour tout x de R.

-> cos(sin(x)) >= sin(cos(x) pour x dans R.

Or pour avoir cos(sin(x)) = sin(cos(x)), il faudrait:

sin(x) = (Pi/2)+cos(x) ou sin(x) = (Pi/2)-cos(x)
Ceci est impossible en effet:
par ex pour sin(x) = (Pi/2)+cos(x)

m(x) = sin(x)-cos(x)
m '(x) = cos(x) + sin(x)
m'(x) = 0 -> -sin(x)/cos(x) = 1
tg(x) = -1 -> x = -Pi/4 + kPi
Valeurs qui donnent les extrema de m(x):
m(-Pi/4) = -V2
m(3Pi/4) = +V2

-> -V2 <= sin(x) - cos(x) <= V2
-V2 + Pi/2  <= sin(x) - cos(x) + Pi/2 <= V2 + Pi/2
0,15... <= sin(x) - cos(x) + Pi/2 <= 2,9...
sin(x) - cos(x) + Pi/2 > 0
et donc sin(x) = (Pi/2)+cos(x) est impossible
(idem pour sin(x) = (Pi/2)-cos(x), impossible aussi)
->

cos(sin(x)) = sin(cos(x) est impossible et on a donc finalement:

cos(sin(x)) > sin(cos(x) pour x dans [-Pi ; Pi]
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Sauf distraction.

OUF, t'as intérêt à relire attentivement.  

C'est moi, en tout cas je te remercie pour ton aide!