Essaie de raisonner génométriquement ta matrice représente une rotation composee avec une homotétie dans R^3 trouve une base adaptée (c'est presque la base dans laquelle ta matrice est exprimée) et ensuite il sera facile de calculer A^n

Bonjour,
je peux me tromper mais il te suffit de décomposer ta matrice sous la forme :
A=a*B(t)+C,
où B(t)= cost 0 -sint
         0    1   0
         sint 0   sint
et C= la matrice nulle avec (b-1) comme coefficient central
tu démontres facilement par récurrence que (B(t))^n=B(nt)
C est une matrice diagonale, donc C^n est la matrice nulle avec comme coefficient central (b-1)^n
tu remarques de plus que, qqst n non nul,
C^n*B((n-k)t)=C^n=B((n-k)t)*C^n
tu peux donc appliquer la formule du binôme
Après, il ne te restera plus qu'à te dépatouiller avec a^n, les (b-1)^(n-k), et les coefficients binomiaux pour faire apparaitre un truc "simple", je n'ai pas essayé de le faire mais ca doit être facilement faisable
Voilà, sauf erreur
Bon courage

Bonjour, marie1788.

On montre par récurrence que:



On peut le démontrer aussi avec l'idée suivante: la restriction de A à Vect(e_2) est l'homothétie de rapport b, la restriction de A à Vect(e_1,e_3) est la similitude directe de centre 0, de rapport a et d'angle t.