Bonjour, j'ai un problème avec un exercice sur les automorphismes orthogonaux:
soient a et b deux réels.
acost O -asint
A= 0 b 0
asint 0 acost
calculer A^n pour tout entier n
j'ai commencé par calculer A^2 mais je n'ai pas trouvé qqch de bien concret
merci de votre aide
Essaie de raisonner génométriquement ta matrice représente une rotation composee avec une homotétie dans R^3 trouve une base adaptée (c'est presque la base dans laquelle ta matrice est exprimée) et ensuite il sera facile de calculer A^n
Bonjour,
je peux me tromper mais il te suffit de décomposer ta matrice sous la forme :
A=a*B(t)+C,
où B(t)= cost 0 -sint
0 1 0
sint 0 sint
et C= la matrice nulle avec (b-1) comme coefficient central
tu démontres facilement par récurrence que (B(t))^n=B(nt)
C est une matrice diagonale, donc C^n est la matrice nulle avec comme coefficient central (b-1)^n
tu remarques de plus que, qqst n non nul,
C^n*B((n-k)t)=C^n=B((n-k)t)*C^n
tu peux donc appliquer la formule du binôme
Après, il ne te restera plus qu'à te dépatouiller avec a^n, les (b-1)^(n-k), et les coefficients binomiaux pour faire apparaitre un truc "simple", je n'ai pas essayé de le faire mais ca doit être facilement faisable
Voilà, sauf erreur
Bon courage
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