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automorphismes orthogonaux

Posté par jacko78 (invité) 02-06-05 à 17:58

Bonjour, j'ai un petit probleme sur les automorphismes orthogonaux a nouveau :

Dans 3 muni de sa base cononique, on considère :
- R la rotation d'axe dirigé par le vecteur u=(1,-1,0) et d'angle =/4.
- S la reflexion par rapport au plan d'equation x+2y=0

Déterminer la nature et les éléments caracteristiques de l'application F=SoR

Je sais bien sur que c'est un automorphisme orthogonal indirect par raisonnement sur les determinants.
Le plan de la rotation est d'equation x-y=0 et ce dernier est supplémentaire avec la droite engendrée par u, donc pour tout vecteur v de l'espace il se decompose de facon unique de la forme : v = u + w avec w qui appartient a p.

Voila je suis convaincu qu'il faut partir de la mais apres c'est un peu flou, quelqu'un peut il m'aider svp?
Merci a tous

Posté par pierrete (invité)re : automorphismes orthogonaux 02-06-05 à 18:55

on te demande la nature, un automor orthogonal

puis cherche les caracteristiques

par exemple les points invariants, c'est un bon indice pour savoir ce que c'est

Posté par jacko78 (invité)re : automorphismes orthogonaux 02-06-05 à 19:10

merci pierrete mais ce que je veux faire c'est retrouver les matrices d'abord des deux applications pour endsuite pouvoir bien travailler sur F

Posté par jacko78 (invité)re : automorphismes orthogonaux 02-06-05 à 20:37

svp je m'en sors vraiment pas la:?

Posté par pierrete (invité)re : automorphismes orthogonaux 02-06-05 à 22:30

ce sont les matrices de R et S que tu cherches ?

C'est relativement simple

on se place dans la base canonique

toutes les matrices de reflexions d'axe z sont de la forme

cos(theta)     +-sin(theta)     0
-+sin(theta)     cos(theta)     0
    0                 0         1

tu trouves donc facilement la matrice cherchée avec un petit changement de base (pour passer de la base canonique a la base comportant le vecteur u)

ensuite pour la matrice de S

il te suffit d'écrire l'image des vecteurs de la base canonique (dans cette meme base) par la symetrie S  (enfin tu as du le voir en cours, non ? )

avec ça tu as de quoi faire, je pense

si tu as besoin de plus developpement dis moi (mais ce sera peut etre demain !) ciao !



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