Bonjour,

J'ai un exercice sur les intégrations et je n'arrive pas à faire toutes les questions qui suivent la question 1. Pourriez vous m'aider svp ? voici l'énoncé de l'exercice :

1. On considère la fonction numérique f définie sur [1 ; +∞] par f(x) = (1/x).(exp(1x)).

Pour tout α ≥ 1, on considère les intégrales

J(α ) = ∫ de α à 2α de (1/x)dx  et  K(α ) = ∫ de α à 2α de (1/x).(exp(1/x))dx.

Le but de l'exercice est d'étudier, sans chercher à la calculer, l'intégrale K(α ).


a)Déterminer la limite de f en +∞. Interpréter graphiquement le résultat.
Je trouve 0+ comme limite donc asymptote horizontale !


b)Etudier le sens de variation de f.
Je trouve que f est décroissante sur [1 ; +∞] !


c)Donner l'allure de la courbe C.
Pour cette question je ne vois pas vraiment ce que l'on attend de moi !


C'est à partir de maintenant que j'ai besoin de votre aide svp !

2.a) Interpréter géométriquement le nombre K(α ).

b) Soit α ≥ 1, montrer que

1/2exp(1/2α ) ≤ K(α ) ≤ exp(1/α )

c) En déduire que

½ ≤ K(α ) ≤ e


3.a) Calculer J(α ).


b) Démontrer que pour tout réel α ≥ 1

exp(1/2α ).ln(2) ≤ K(α ) ≤ exp(1/α ).ln(2)


4.Déduire de ce qui précède la limite de K(α ) lorsque α tend vers +∞.