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Avec de vecteurs SVP , 2nd, pour demain.
Bonjour il ne me manque plus que cette exercice merci de m'aider
, reponder a ce que vous voulez!
Soit ABCD un rectangle. I est le milieu de [AD] , E est l'intersection
de [AC] et [IB] , J le symétrique de I par rapport à D , et K le
point tel que AK=3AB (AK et AB des vecteurs)
Le but du problème est de prouver l'alignement des points J,C et
K en utilisant successivement trois méthodes:
1++Methode:En utilisant la relation de colinéarité
a)Déterminer les coordonnées de tous les points de la figure dans le repère (A;AB;AI)
(AB et AI vecteurs)
b)Démontrer que les points J , C et K sont alignés.
2++Methode: En utilisant une égalité entre deux vecteurs
a)Exprimer le vecteur JD en fonction du vecteur JA
b)Exprimer les vecteurs JA+AK en fonction du vecteur JC.Démontrer que les points
J , C et K sont alignés.
3++Methode: En utilisant deux droites parallèles ayant un point commun
a)En utilisant la reciproque de Thalès , demontrer que (JK)//(IB)
b)Demontrer que BCJI est un parallélogramme. En déduire (JK)//(JC).Conclure.
Merci beaucoup Max
Bonjour Max 
- Première méthode -
a)
A(0; 0)
B(1; 0)
I(0; 1)
AC = AB + BC
= AB + AD
= AB + 2AI
Donc : C(1; 2)
AD = 2AI
Donc : D(0; 2)
AJ = 3AI
Donc : J(0; 3)
AK = 3AD
Donc : K(3; 0)
b) A l'aide des coordonnées trouvées à la question précédente,
tu peux trouver les coordonnées de vecteurs JC et JK.
Ensuite, tu regardes si ces vecteurs sont colinéaires (c'est le cas)
et tu pourras en déduire que les points J, C et K sont alignes.
Voilà un petit peu d'aide pour la première méthode, bon courage
Une petite remarque au sujet de la réponse précédente :
j'ai mis en gras les vecteurs.
- Deuxième méthode -
a)
JD = JA + AD
= JA + 2AI
= JA + 2DJ
3JD = JA
JD = 1/3 JA
b)
JA + AK
= JA + 3AB
= JA +3DC
= JA + 3DJ + 3JC
= 3JD +3DJ + 3JC
= 3JC
On a donc montré que :
JK = 3JC
Les vecteurs JK et JC sont donc colinéaires.
D'où :
les points J, C et K sont alignés.
Voilà pour la deuxième méthode, bon courage ...
Et voilà la suite 
- Troisième méthode -
a) On a :
AI/AJ = AI/(3AI) = 1/3
AB/AK = AB/(3AB) = 1/3
Donc d'après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (JK)
et (IB) sont parallèles.
b)
On a : BC = IJ
Pythagore dans DJC rectangle en D donne :
JC² = JD² + DC²
Pythagore dans ABI rectangle en A donne :
BI² = AI² + AB²
= DJ² + DC²
Donc BI = JC.
Comme BI = JC et IJ = BC,
alors BCJI est un parallélogramme.
On peut donc en déduire que les droites (BI) et (JC) sont parallèles.
Or, on a montré que les droites (BI) et (JK) étaient parallèles.
On en déduit donc que les droites (JK) et (JC) sont parallèles.
Elles ont un point commun J. Les points J, K et C sont donc alignés.
Et voilà pour la fin.
A toi de tout vérifier. Bon courage ...
je ne sais comment vous remercier!! Bien entendu je vais tout vérifier
, essayer de comprendre,etc... Mille fois merci!!!
désolé mais c'est quoi les coordonées de E dans le 1)a) j'arrive
pas a trouver merci
Euh oui, c'est vrai je ne les ai pas donné.
D'ailleurs au passage je ne sais pas pourquoi on a introduit ce point E, puisque
si mes souvenirs sont bons, nous ne nous en sommes pas servi dans
les démonstrations.
Bon enfin, cherchons les coordonnées de ce point :
En fait c'est le point d'intersection des droites (AC) et
(BI) :
une méthode (peut-être pas la plus simple, mais c'est la seule qui
me vient pour l'instant) :
- trouve l'équation de la droite (AC)
- trouve l'équation de la droite (BI)
Et tu pourras alors obtenir les coordonnées du point E en résolvant
uné petite équation.
Voilà, bon courage ...
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