Bonjour,

Poste l'énoncé, les réponses que tu as déjà trouvées, et ce que tu as cherché.
Nous t'aiderons.

Nicolas

Voici le sujet :

1. Préciser l'ensemble de définition Dg de la fonction g définie sur cet ensemble
par g (x)= ln( 1/(2-x)) où ln désigne la fonction logarithme népérien.
Prouver que la fonction g est croissante sur son ensemble de définition et que
l'image par g de l'intervalle I = [-2 ; 0] est incluse dans cet intervalle.

2. a. Soit la suite (un) définie pour tout entier naturel n par :
u0 = -2
un+1 = g (un)
Montrer que u1 appartient à l'intervalle I = [-2 ; 0]. Prouver par récurrence,
à l'aide des variations de la fonction g, que la suite (un) a tous ses
termes dans l'intervalle I et est croissante.

b. On considère la suite (vn) définie pour tout entier naturel n par :
v0 = 0
vn+1 = g (vn)
Calculer le terme v1 et montrer que -2 < u1 < v1  < v0 < 0. ( ce sont < ou = à)
Établir par récurrence, à l'aide de la croissance de la fonction g sur l'intervalle
[-2 ; 0], que pour tout entier naturel n strictement positif, on
a :
-2<un < vn <vn-1 <0. (ce sont < ou égal à)
Préciser le sens de variation de la suite (vn).

3.a) Soit m la fonction définie sur[0;+infini[ par m(x) = x-ln(1+x). Montrer que m est croissante et calculer m(0).
En déduire que, pour tout x positif, on a : ln(1+x)< x (plus petit ou égal)
b)Vérifier [/b]que, pour tout entier n, Vn+1 - Un+1=ln(1+((Vn-Un)/(2-Vn))
En déduire que:Vn+1-Un+1<(Vn-Un)/(2-Vn)
Sachant que, pour tout entier n, les termes de la suite(Vn) appartiennent à l'intervalle [-2;0], donner un encadrement de 1/(2-Vn) et établir que:Vn+1 - Un+1< 1/2*(Vn - Un).
Prouver alors que, pour tout entier naturel n, Vn - Un <(1/2^n) * (Vo-Uo).
Que peut on déduire pour la suite de terme général Vn-Un et pour les suites (Un) et (Vn)?
4. Donner, à l'aide de la calculatrice, un encadrement d'amplitude 10^-4 de U10 et V10[/b]

Il s'agit des questions 3)b et la question 4 que je n'arrive pas à faire

Merci bcq pour votre aide

OK.
Quelle sous-question de 3)b te pose problème ?

Il s'agit de la question : Que peut on déduire pour la suite de terme général Vn-Un et pour les suites (Un) et (Vn)?

Ainsi que de la question 4 que je n'arrive pas du tout

Salut léane, salut Nicolas ,


Je parie que l'une des suites est croissante, l'autre décroissante et qu'elles tendent vers une limite commune (ou que la limite de leur différence est nulle) ... .

Donc elles sont ....

Oui je m'en doutais un peu mais le problème c'est que j e n'arrive pas à le prouver et puis je n'arrive pas la question 4.
Merci

Bonsoir

La question 2)a) a montré que u est croissante, la 2)b) que v est décroissante, la 3)b) que v-u converge vers 0 (théorème des "gendarmes"), d'où la conclusion soufflée par cinnamon.

La 4) est simplement une histoire de calculatrice...

merci ms je voi tjs pa comment tu vois que V-U converge vers O puisqu'il est inférieur à une limite qui tend ver O ms il n'est pa encadré!
dsl j'sui vraimen nul si tu pouvai m'expliqué ac un peti peu plus d'explications merci d'avance

Bonjour

2) b) donne u_n < v_n pour tout n, donc v_n-u_n > 0

Merci beaucoup, je crois que j'ai réussi.
Merci littleguy

Salut Littleguy
Je suis désolé de t'embéter encore mais pourrais tu m'aider pour la question 4 car pour l'encadrement de U10, si j'arrondis à 10^-4 je trouve 2 fois le même chiffre donc je sais pas si c'est ça alors est-ce que tu pourrais me dire combien tu trouves?
Merci

bonjour, j'ai le meme exercice et je voudrais savoir si tu pouvais me passé la correction merci.