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barycentre
Bonjour à tous, voici un exo sur les barycentre qui me pose problème
On cherche à déterminer le lieu des points K lorsqu M décrit C privé de A et de B
1)quel est le barycentre de (A,1)( B,1) et (M,2)
Pour cette question je pense que c'est le point j ou le point I mais je ne sais pas comment le démontrer
2) Déduire que K est barycentre de (B,1) et (M,2)
3)
a)Déterminer une transformation f telle f(M)=K
b)en déduire le lieu du point K
Données pour la figure: I milieu de [AB], Pour tout point M du cercle C privé des points A et B on construit le milieu J de [IM] et le point K intersection de (AJ) et (MB)
Merci d'avance pour votre aide
Bonsoir.
1)quel est le barycentre de (A,1)( B,1) et (M,2)
On sait que si deux points U et V ont même coefficient a non nul, alors le barycentre de {(U,a),(V,a)} est le milieu du segment [UV].
Ici, le barycentre de (A,1) ; ( B,1) ; (M,2) est par associativité le barycentre de :
((A,1),( B,1)) ; (M,2) donc le barycentre de (I,2) ; (M,2) donc, le milieu J de [IM]
2) Déduire que K est barycentre de (B,1) et (M,2)
On peut "associer" autrement :
J barycentre de (A,1) ; ( B,1) ; (M,2) => J barycentre de (A,1) ; (( B,1),(M,2)). Comme A, J, K sont alignés :
K est le barycentre de ( B,1) ; (M,2)
3) a)Déterminer une transformation f telle f(M)=K
K est le barycentre de ( B,1) ; (M,2)
En utilisant la relation de Chasles, j'arrive à :
Comme B est fixe, on passe de M à K par une homothétie de centre K de rapport 2/3.
3) b)en déduire le lieu du point K
M décrit le cercle de centre O de rayon r => K décrit le cercle de centre O' tel que :
et de rayon r' = .r
Je ne l'ai pas trouvé si évident que cela : pour en venir à bout, il faut bien connaître l'associativité du barycentre, savoir reconnaître une homothétie et déterminer l'image d'un cercle par cette homothétie.
tout d'abord une toute petite correction à partir de la relation vectorielle BK =2/3 BM on déduit que le centre de l'homothétie est le point B et non le point K
question2
d'aprés 1) J est le barycentre de (A,1);(B,1);(M,2)on sait que Iest le milieu de (AB) donc J est le barycentre de (I,2) et (M,2) donc le milieu du segment(IM) autrement dit I,J et M sont alignés:celad'une part
d'autre part par associativité, comme le disait si bien Raymond ,de (A,1)et de ((B,1); (M,2))comme les points A,J,K sont alignés donc forcemment le point K est le barycentre de ((B,1);(M,1))
j'espère avoir répondu à ta question
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