Salut,

J'ai besoin de votre avis sur un exercice. Voici l'énoncé.

Soit a un réel strictement positif .
On considère ABC un triangle rectangle en A tel que AB = a et AC = 3a.
Vous ferez une figure en prenant a = 2 cm.

1. Construire le barycentre G de (A,-5) (B,6) (C,2).
2. Calculer GA², GB² et GC² en fonction de a .
3. Déterminer et construire l'ensemble E des points M du plan vérifiant :
−5MA² + 6MB² + 2MC² = 12a²

(NB : lire XX comme étant le vecteur XX)

1. On introduit H le barycentre de (A,-5) (B,6). On obtient AH = 6AB. On peut alors placer H. On utilise ensuite le fait que G est le barycentre de (H,1) (C,2) donc HG = (2/3)HC et on place G. Pas de problème pour la figure, je passe.

2. On utilise la relation de Chasles et le fait que G est le barycentre de (A,-5) (B,6) (C,2) :

-5GA + 6GB + 2GC = 0 <=> -5GA + 6(GA + AB) + 2(GA + AC) = 0 <=> GA = -(2AB + 2/3AC) d'où GA² = (2AB + 2/3AC).(2AB + (2/3)AC) = 4AB² + (8/3)AB.AC + (4/9)AB = 4AB² + (4/9)AB² car AB et AC sont des vecteurs orthogonaux. On obtient GA² = 4a² + 4a² = 8a²

De même -5GA + 6GB + 2GC = 0 <=> -5(GB + BA) + 6GB + 2(GB + BC) = 0 <=> 3GB + 5AB + 2BC = 0 <=> 3GB + 3AB + 2AC = 0 <=> GB = -(AB + 2/3AC) d'où GB² = (AB + 2/3AC).(AB + 2/3AC) = AB² + (4/9)AC² = 5a²

Idem : -5GA + 6GB + 2GC = 0 <=> -5(GC + CA) + 6(GC + CB) + 2GC = 0 <=> 3GC -5CA + 6CB = 0 <=> 3GC - 5CA + 6(CA + AB) = 0 <=> 3GC + CA + 6AB = 0 <=> GC = -2AB + (1/3)AC = 4AB² + (1/9)AC² = 5a²

3. Par ce qui précède et en utilisant la relation de Chasles, on a :

-5MA² = -5(MG + GA).(MG + GA) = -5MG² + (-5).2MG.GA - 5GA²
6MB² = 6(MG + GB).(MG + GB) = 6MG² + 6.2MG.GB + 6GB²
2MC² = 2(MG + GC).(MG + GC) = 2MG² + 2.2MG.GC + 2GC²

On additionne membre à membre ces égalités et on factorise le produit scalaire (-5).2MG.GA + 6.2MG.GB + 2.2MG.GC par 2MG :

−5MA² + 6MB² + 2MC² = 3MG² - 5GA² + 6GB² + 2GC² + 2MG.(-5GA + 6GB + 2GC) = 3MG² - 5GA² + 6GB² + 2GC² car -5GA + 6GB + 2GC = 0

−5MA² + 6MB² + 2MC² = 3MG² -40a² + 30a² + 10a² <=> −5MA² + 6MB² + 2MC² = 3MG²

Donc si −5MA² + 6MB² + 2MC² = 12a², alors 3MG² = 12a² <=> MG² = 4a² <=> MG = 2a

L'ensemble E des points M du plan vérifiant −5MA² + 6MB² + 2MC² = 12a² est donc le cercle de centre G et de rayon 2a.


J'ai l'impression que je fais des calculs inutiles et que je pourrais aller plus vite, auriez-vous des pistes/corrections et/ou des conseils?

Merci !