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Bases simplectique

Posté par
Zrun
02-05-17 à 19:05

Bonsoir à tous,

J'aimerais avoir votre aide sur cette partie du sujet du concours Polytechnique 2017 épreuve A, que je fais juste pendant mon temps libre par amour des maths (je suis en terminale) .
Voilà j'aimerais avoir des indications pour réaliser les questions et je vous en remercie par avance!!
Voici un bref rappel de l'énoncé:
E est un espace vectoriel de dimension n et on note E* son dual.
On note A(E) l'espace vectoriel des applications \omega :EXE qui sont bilinéaires et antisymétriques.
Pour tout \omega \in A(E) et x \in E, on note \omega(x,.) la forme linéaire qui a x associe \omega(x,y) .
En outre, pour tout \omega  \in A(E), on note \phi_\omega l'application linéaire de E dans E* définie par \phi_\omega (x)=\omega(x,.) .
Un élément \omega de A(E) est appelé une forme symplectique sur E si \phi_\omega est un isomorphisme.
Un élément J de L(E) est appelé structure complexe sur E si J^2=-Id .
On dit qu'une forme symplectique \omega sur E dompte une structure complexe J si \omega(x,J(x))>0, pour tout x non nul
Enfin, lorsque n est pair, on note J_n la matrice de taille n telle que ses coefficients valent 0 sauf ceux sur la diagonale secondaire qui valent 1 pour les \frac{n}{2} premier en partant du bas et -1 pour les autres.

Voici les questions:

1) Montrer que la dimension de E* est n
2) Montrer que \omega(x,x)=0 pour tout \omega \in A(E) et pour tout x \in E
3) Soit \omega \in A(E) et B=(b_1;...;b_n) une base de E
a) Montrer qu'il existe une unique matrice M carrée de taille n , dont on précisera les coefficients telle que pour tout (x,y) \in E^2, \omega(x,y)=X^tMY où X et Y sont les vecteurs colonnes des coordonnées de x et y dans B.
On note M=Mat_B(\omega)
b) Montrer que M est antisymétrique
c) Montrer que A(E) est de dimension 1 lorsque E est de dimension 2
d) Montrer l'équivalence entre les trois énoncés suivants:
(E1) : \omega est une forme symplectique sur E
(E2): Pour tout x non nul, il existe y tel que \omega(w,y)\neq 0
(E3):  M=Mat_B(\omega) est inversible
4) Montrer que s'il existe une forme symplectique sur E, alors la dimension de E est paire.



Voilà pour l'instant je me concentre sur ça, je mettrai le suite après pour pas inonder ce post!
Je suis bloquer à la question 3d), j'ai réalisé sans aucune difficulté les précédentes;
Merci

Posté par
ThierryPoma
re : Bases simplectique 03-05-17 à 09:04

Bonjour,

Du boulot, très rapidement : Supposons que l'on ait (E_1). Alors, par définition même de \phi_{\omega}, l'on a \ker\,\phi_{\omega}=\cdots, ce qui fait que, pour tout x\in\ker\,\phi_{\omega}, la forme linéaire \phi_{\omega} n'est pas identiquement nulle et donc  (...)

Posté par
ThierryPoma
re : Bases simplectique 03-05-17 à 09:05

Erratum :

(...) ce qui fait que, pour tout x\not\in\ker\,\phi_{\omega}, (...)

Posté par
ThierryPoma
re : Bases simplectique 03-05-17 à 09:06

Erratum :

(...) la forme linéaire \phi_{\omega}(x) n'est pas identiquement nulle et donc (...)

Je retourne travailler !



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