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Bayesian Filtering

Posté par
ROAD
05-04-21 à 22:03

Bonjour Tout le monde.
J'espère que vous allez bien.
Je travaille sur un sujet classique et purement mathématique "Bayesian Filtering" et je me suis bloqué sur quelque questions et je suis là pour demander que je vous en remercier.

KALMAN FILTER WITH BIASED NOISE
xk et yk désignent respectivement le vecteur d'état et les mesures

Dérivez les équations de filtre de Kalman pour le modèle de filtrage gaussien linéaire suivant avec des bruits moyens non nuls:

xk  = Axk-1  + qk-1
yk  = Hxk + rk

Lorsque qk-1  ~ N(mq,  Q) et  rk  ~ N( mr, R)

GAUSSIAN RANDOM WALK
Consider the Gaussian random walk:



xk  = xk-1  + qk-1
yk  = xk + rk


Lorsque qk-1  ~ N(0, Q) et  rk  ~ N(0, R)

1-Écrivez les équations de Kalman dans ce cas.
2-Mettre en œuvre un Gaussian random walk tracking dans Rn et faire une simulation dans R2, Dessinez sur le même graphique en deux couleurs différentes (avec une légende claire) la trajectoire du système et l'état estimé.

Posté par
phyelec78
re : Bayesian Filtering 06-04-21 à 17:38

Bonjour,

vous avez une représentation discrète, d'un système linéaire Gaussian ,
xk  = xk-1  + qk-1 est l'équation d'évolution de votre système
yk  = xk + rk est l'équation de mesure de votre système

xk-1  est le vecteur d'état à un instant d'échantillonnage précèdent.

Pour la première question, il faut écrire les équations
1)Étape de Prédiction
xk|k-1=xk-1|k -1
pk|k-1=pk-1|k-1  + Q    

où pk|k-1 est la matrice de covariance de  l'erreur de prédiction sur xk|k-1connaissant toutes les mesures jusqu'à l'instant k.

2)Étape de Mise à jour
L'état prédit et sa covariance peuvent être corrigés afin d'intégrer l'information provenant des nouvelles mesures. L'écart entre la mesure et l'état prédit représente l'
innovation du filtre : yk-xk|k-1

Alors, le gain de Kalman, K , l'état et sa matrice de covariance s'obtiennent par les expressions suivantes :
K=pk|k-1 .( pk|k-1 + R)-1
xk=xk|k -1 + K.(yk - xk|k -1)
pk=(I-K).pk|k-1  (où I est la matrice identité)

Posté par
ROAD
re : Bayesian Filtering 06-04-21 à 22:41

Je vous remercie pour votre réponse et vos idées,

Pour la 1er question je ne vois pas la dérivation des équations de filtre de Kalman pour le modèle de filtrage gaussien linéaire suivant avec des bruits moyens non nuls dans votre repense ils sont où le la matrice A et H...

Posté par
phyelec78
re : Bayesian Filtering 07-04-21 à 13:26


j'ai écris les équations en fonction du système considéré à savoir :
xk  = xk-1  + qk-1
yk  = xk + rk
où A et H sont I

Posté par
ROAD
re : Bayesian Filtering 07-04-21 à 13:39

Bonjour
Oui c'est pour la deuxième partie GAUSSIAN RANDOM WALK.
mis pour la 1ere partie KALMAN FILTER WITH BIASED NOISE comment je peux trouver les dérivés des équations de filtre de Kalman (c'est la 1er question de partie 1)?

Posté par
phyelec78
re : Bayesian Filtering 07-04-21 à 13:41

dans le cas Gaussien , on a


pk|k-1=\dfrac1{\sqrt{2\pi Q}}exp(-\frac1{2Q} (x_k  - x_{k-1})^2)

yk|xk=\dfrac1{\sqrt{2\pi R}}exp(-\frac1{2R} (y_k  - x_k)^2)

Posté par
ROAD
re : Bayesian Filtering 07-04-21 à 13:47

Oui je suis tout à fait d'accord avec vous pour le cas Gaussien.
sinon j'arrive pas à comprendre c'est quoi la différence entre la question : Dérivez les équations de filtre de Kalman pour le modèle de filtrage gaussien linéaire suivant avec des bruits moyens non nuls de la partie 1 et la 1ere question de la partie 2

Posté par
phyelec78
re : Bayesian Filtering 07-04-21 à 13:55

Parlons-nous du même exo? les questions de votre poste 1 sont :

1-Écrivez les équations de Kalman dans ce cas.
2-Mettre en œuvre un Gaussian random walk tracking dans Rn et faire une simulation dans R2, Dessinez sur le même graphique en deux couleurs différentes (avec une légende claire) la trajectoire du système et l'état estimé.

la 1) me semble traité. La 2) reste à terminer.

Posté par
ROAD
re : Bayesian Filtering 07-04-21 à 14:31

Oui on parle de meme exercice .
ma question est sur la partie 1

** image supprimée **

Posté par
phyelec78
re : Bayesian Filtering 07-04-21 à 14:49

OK ,Donc pour l'instant on a travaillé sur la partie 2.
Je regarde.

Posté par
phyelec78
re : Bayesian Filtering 07-04-21 à 16:48

pour la partie 1, je vous propose :

partie I
1)Étape de Prédiction
xk|k-1=A . xk-1|k -1 +mq
pk|k-1=A. pk-1|k-1 . At + Q    

2)Étape de Mise à jour
K=pk|k-1.Ht .( pk|k-1.Ht + R)-1
xk=xk|k -1 + K.(yk - (H.xk|k -1 + mr))
pk=(I-K.H).pk|k-1  (où I est la matrice identité)

avec Ht  matrice transposée de H

Posté par
ROAD
re : Bayesian Filtering 09-04-21 à 00:46

Bonjour, je vous remercie pour votre aide, j'ai une question pourquoi étape de prédiction est étape de mise à jour c'est quoi la différance et qui ce que ce passe pour chaque étape ?

et si vous voulais je vous demande comment je peux l'appliquer sur cette exemple
https://www.ilemaths.net/sujet-bayesian-filtering-2-866705.html#msg7892395

merci infiniment

Posté par
phyelec78
re : Bayesian Filtering 09-04-21 à 14:10

Bonjour,

Je vais tenter de vous expliquer "à la main" et à grosses mailles,l'idée du  filtre de Kalman ( enfin comme je le comprends).

Voilà,
1)on a un système qu'on a mis en équation, ça c'est la théorie. Donc on connait en théorie comment va évoluer  notre système
2) oui mais dans la vraie vie, il y a des problèmes,par exemple dans votre modèle théorique vous avez une accélération produite par un moteur que vous avez noté am qui est constante, mais pour de vrai votre moteur n'est pas parfait et vous aurez du bruit et donc votre accélération sera a=am + erreur . Il faut admettre l'hypothèse erreur additive qui en pratique est correcte. Cette erreur c'est du bruit. En général, on le prend Gaussien, car beaucoup de phénomène le sont et qu'on sait faire des calculs avec des gaussiennes.
Tout ceci pour dire qu'il va falloir corriger les erreurs dues à l'imperfection du système réel, pour qu'il fasse ce que l'on veut.
3) pour corriger, on va faire une mesure et comparer le résultat avec la théorie. Donc on rajoute un capteur (ou plusieurs) qui lui aussi n'est pas parfait.

Voici donc les étapes.

1) prédiction
-je suis à l'endroit xk à l'instant k, à l'instant k+1, j'utilise mon modèle théorique ( donc sans bruit) pour dire où je pense que je serais , donc une prédiction xk+1
-je fais une mesure

2)Étape de Mise à jour
Dans cette phase on calcule l'erreur qu'on a par rapport à la théorie et la correction à apporter (le gain de Kalman) et on calcule le nouveau xk+1 (qui est une estimation  du xk+1 réel )


pour "https://www.ilemaths.net/sujet-bayesian-filtering-2-866705.html#msg7892395 " vous ne pouvez pas vous baser sur cet exemple.
Je m'explique , regarder votre exemple :

xk  = Axk-1  + qk-1
yk  = Hxk + rk

il s'agit d'un exemple linéaire, ce qui veut dire  en forme de droite, pour rappel une droite a pour équation y=ax+b : c'est cela linéaire. y=x2 ou y=sin(x) ne sont pas linéaires. xk  = Axk-1  + qk-1 et yk  = Hxk + rk sont de la forme "ax+b" donc linéaires, au passage les matrices sont étudiées en général dans le cours d'algèbre linéaire.

Dans "https://www.ilemaths.net/sujet-bayesian-filtering-2-866705.html#msg7892395 "
xk et yk ne sont pas linéaires. Je peux vous accompagner sur le post correspond, je vous propose de continuer sur le post https://www.ilemaths.net/sujet-bayesian-filtering-2-866705.html#msg7892395 "



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