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besoin d aide pour un dm..suite + factoriel..
Bonjour tout le monde bon j'ai un dm pr apres demain et voila j'en suis a mon exo 3 que je n'arrive pa tres bien..j'aurais besoin d'un pe d'aide merci d'avance..
EXERCICE 3
1. Soit (un) avec n appartenant à N privé de 0 , la suite définie pour tout entier n non nul par : un=1 + 1/1! + 1/2!+ 1/3!+...+1/n!. Démontrer qye cette suite est croissante.
2.On définit la suite (vn) avec n appartenant à N privé de 0 par vn=un + 1/(n(n!)) Démontrer que la suite vn est décroissante
3.Montrer que pour tous entiers p et q non nuls : up
vq. En déduire que chacune des suite (un) et (vn) est convergente. on appelle l et l' leurs limites respectives.
4. Démontrer qye la suite (un -vn) converge vers 0. En déduire l'égalité l = l'
5. Que pouvez vous dire des suites un et vn ??
MERCI D'AVANCE
salut
le 1 en faisant u(n+1)-u(n)=1/(n+1)!>=0 donc on a le resultat.
2)v(n+1)-v(n)=u(n+1)-u(n) +1/[(n+1)(n+1)!]-1/[n*n!]=1/(n+1)!+1/[(n+1)(n+1)!]-1/[n*n!]
1/(n+1)!+1/[(n+1)(n+1)!]-1/[n*n!]=[n(n+1)+n-(n+1)*(n+1)]/[n*(n+1)(n+1)!]
or n(n+1)+n-(n+1)*(n+1)=-1
donc v(n+1)-v(n)=<0 donc v est decroissante.
3)soit p et q dans N*.
si p=< q donc u(p)=< u(q) car la suite u est croissante.
et u(q)=v(q)-1/(q*q!)=< v(q)
donc u(p)=< v(q)
si q=< p
u(p)=v(p)-1/(p*p!)=< v(p)
comme v est decroissante on a v(p)=<v(q)
conclusion u(p)=<v(q)
la suite u est croissante et majoree par v(1) => elle converge soit l sa limite.
la suite v est decroissante et minoree par u(1) => elle converge soit l' sa limite.
u(n)-v(n)=-1/(n*n!)
et la suite (-1/(n*n!)) -> 0 quand n->+oo
(pour le voir 0>=-1/(n*n!)>=-1/n et thoereme des gendarmes sinon)
donc (u(n)-v(n)) converge vers 0.
on a lim (u(n)-v(n))=0
n->+oo
et lim u(n)=l
n->+oo
et lim v(n)=l'
n->+oo
donc l=l'
car lim u(n)=lim (u(n)-v(n))+lim v(n) (on peut ecrire ceci car les
n->+oo n->+oo n->+oo limites concernees sont des reels)
et donc l=0+l'=l'
5. les suites u et v sont ADJACENTES.
a+
Bonsoir.
Je réagis un peu tard (3 mois de retard je sais ^^) mais je ne comprend pas le 3), justement là où je suis bloqué. Quelqu'un pourrait-il m'expliquer SVP ?
Merci ++
Ah non, pas du tout, je ne suis pas Tribal95 ^^
C'est juste que j'ai aujourd'hui fais cet exercice, et je n'arrive pas à faire la question 3 ^^
++
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