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besoin d aide sur intégration par parties merci!
G fait la premiere question en espérant que ce soit juste et la 2
et la 3 je n'arrive pas à les faire. Si quelqu'un pouvait
m'aider ce serait cool merci.
On utilisera S(b,a) pour symboliser l'intégrale; b et a étant les
bornes.
n étant un entier naturel, on note : In=S(pi/2,0)sin^n .x.dx
Les fonctions u et v sont définies sur [0,+infini[ par :
u(x)=ln(1+x)-x+(x^2)/2-(x^3)/3+(x^4)/4-(x^5)/5
v(x)=u(x)+(x^6)/6
On note enfin J l'intégrale S(pi/2;0)ln(1+sint)dt
1.Démontrer, à l'aide d'une intégration par parties, que I(n+2) ( n+2
étant en indice), I(n+2)=(n+1)/(n+2).In (on écrira sin^(n+2) .x=(sin^(n+1)
.x)(sinx)). Calculer In pour n appartenant à (0,1,2,3,4,5,6).
2.Etudier les variations et le signe des fonctions u et v. En déduire un encadrement
de ln(1+x) par deux fonctions polynomes.
3.Déduire de ce qui précède un encadrement de J.
Merci beaucoup pour votre aide!!
salut , je suis de passage , je te donne la première .
1)sin^n(x)
sin^n(x)=sin^(n-1)(x) * sin(x)
u'(x)= sin(x) u(x) =-cos(x)
v(x) =sin^(n-1)(x) v'(x)=(n-1)*cos(x)*sin^(n-2)(x)
sin^n(x) =
[-cos(x)*sin^(n-1)(x)] (entre pi/2 et 0) + (n-1)cos²(x)sin^(n-2)(x)
or cos²(x)= 1-sin²(x)
et [-cos(x)*sin^(n-1)(x)] (entre pi/2 et 0) =0
on a donc In=(n-1)*[In-2 -In]
d'où In=(n-1)/n *In-2
et changeant les indices
In+2= n+1/n+2 In
Pour les différents n, je te laisse faire
voilà
Charly
I(n+2)=
(pi/2,0) sin^(n+2)(x)dx
= (pi/2,0)(sin^(n+1)(x)sin(x)dx)
IPP: on integre sinus, on derive sin^(n+1):
=[-cosxsin^(n+1)(x)]- (pi/2,0)(n+1)sin^n(x)cos(x)(-cosx)dx
le terme entre crochet fait 0
= (pi/2,0)(n+1)sin^n(x) cos²(x)dx
on remplace cos² par (1-sin²)
= (pi/2,0)(n+1)sin^n(x)-(n+1)sin^(n+2)
=(n+1) (pi/2,0)sin^n(x)-(n+1) (pi/2,0)sin^(n+2)
=(n+1)In-(n+1)I(n+2)
I(n+2)=(n+1)In-(n+1)I(n+2)
d'ou
(n+2)I(n+2)=(n+1)In
et
I(n+2)=(n+1)/(n+2)In
I0=pi/2
I1=1
I2=1/2 I0=..
I3=2/3 I1=..
I4=3/4 I2=...
I5=4/5 I3=...
tu derive u(x) et v(x):
u'(x)=1/(1+x)-1+x-x²+x^3-x^4
=(1-1+x-x²+x3-x4-x+x²-x3+x4-x5)/(1+x)=-x5/(1+x)<0 pour x dans (0,+inf]
donc u decroit or u(0)=0 donc u<0 sur [0,+inf]
idem avec v(x) tu trouves v>0 sur (0,+inf]
2) ca donne donc:
ln(1+x)-x+(x^2)/2-(x^3)/3+(x^4)/4-(x^5)/5<0
et
ln(1+x)-x+(x^2)/2-(x^3)/3+(x^4)/4-(x^5)/5+x6/6>0
donc
x-(x^2)/2+(x^3)/3-(x^4)/4+(x^5)/5-x6/6<ln(1+x)<x-(x^2)/2+(x^3)/3-(x^4)/4+(x^5)/5
on remplace x par sin(t):
sin-(sin^2)/2+(sin^3)/3-(sin^4)/4+(sin^5)/5-sin6/6<ln(1+sin)<sin-(sin^2)/2+(sin^3)/3-(sin^4)/4+(sin^5)/5
et on integre menbre a menbre:
I1-I2+I3-I4+I5-I6<J<I1-I2+I3-I4+I5
comme tu connais les valeurs des I1,I2...et bien c'est fini
A+
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