Niveau Reprise d'études

Bijection d'une application réciproque, homomorphisme de groupes

Posté par
Supradyn 12-10-16 à 14:43

Bonjour,

Je viens vous voir aujourd'hui car je ne suis pas sûre de comment procéder pour une étape d'un exercice. Voici la donnée de l'exo:

"Soit $\color{blue} \phi : G \rightarrow H$ un homomorphisme de groupes. Montrez que si $\color{blue} \phi$ est un isomorphisme de groupes, alors son inverse $\color{blue} \phi^{-1} : H \rightarrow G$ , $\color{blue}\phi(g) \mapsto g$ , est aussi un isomorphisme de groupes."

Je dois donc montrer que $\phi^{-1}$ est bijective et qu'il s'agit d'un homomorphisme de groupes. En fait je n'arrive pas à montrer l'injectivité et j'ai des doutes pour ma preuve de la surjectivité. Voici ce que j'ai fait jusqu'à maintenant:

Soient $(G, \times )$ et $(H, \cdot )$ les deux groupes de la donnée, munis respectivement des lois $\times$ et $\cdot$ .
Soit $a:= \phi(x) \in H$ et $b:= \phi(y) \in H$ , avec $x, y \in G$ .

A voir (preuve pour l'homomorphisme): $\phi^{-1}(a \cdot b) = \phi^{-1}(a) \times \phi^{-1}(b)$ .
On a:

$\phi^{-1}(a \cdot b)$
$= \phi^{-1}(\phi(x) \cdot \phi(y))$
$= \phi^{-1}(\phi(x \times y))$ (par définition de $\phi$ , qui est un homomorphisme)
$= x \times y$ (par définition de $\phi^{-1})$
$= \phi^{-1}(\phi(x)) \times \phi^{-1}(\phi(y))$
$= \phi^{-1}(a) \times \phi^{-1}(b)$

Donc $\phi^{-1}$ est bien un homomorphisme.

Reste à voir: $\color{red} \phi^{-1}$ est bijective (ça se complique ici):

On vérifie donc que $\phi^{-1}$ est injective et surjective.

Injectivité: Par définition de $\phi^{-1}$ , on doit vérifier que $g=h \Rightarrow \phi(g) = \phi(h)$ . On connaît l'implication inverse (i.e. $\Leftarrow$ ) car $\phi$ est bijective. --> Ici, je n'arrive en fait pas à montrer l'implication qu'il faudrait montrer. J'ai juste envie d'écrire "Comme $\phi$ est bijective, on a bien que $g=h \Rightarrow \phi(g) = \phi(h)$ , car pour chaque valeur $g$ de $G$ il existe une et une seule valeur $h$ associée à $g$ (par $\phi)$ dans $H$ ". Mais je ne suis pas sûre que ce soit la bonne explication.

Surjectivité: On sait que $\phi$ est bijective, i.e. $\forall h \in H$ il existe un et un seul $g \in G$ tel que $h=\phi(g)$ . Donc il existe bien, $\forall g \in G$ , un élément $\phi(g) \in H$ tel que $\phi^{-1}(\phi(g))=g.$
--> De nouveau, je ne suis pas du tout sûre que cette "preuve" soit convaincante.

Un petit coup de main serait le bienvenu!

Merci d'avance et bonne journée,

Posté par re : Bijection d'une application réciproque, homomorphisme de gr 12-10-16 à 15:00

Bonjour Supradyn.

Déjà, chose évidente, si $\phi$ est un isomorphisme, alors c'est une bijection et $\phi^{-1}$ existe et est bijectif.
Il n'y a rien d'autre à démontrer que $\phi^{-1}$ est un morphisme. Ce que tu as fait.