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bijection entre les parties dénombrables

Posté par
LERAOUL 29-09-17 à 22:48

Salut une fois de plus !
Je cherche une bijection entre et ;
entre et .
1) f:
                       nf(n)= 2n si n0 et 2(/n/)-1 si n est impair
Je n'ai aucune sur  la bijection entre Q et N.
Merci  d'avance pour votre aide.

Posté par
jsvdbre : bijection entre les parties dénombrables 29-09-17 à 23:23

Bonjour LERAOUL.
Je te donne le début d'une suite, à toi de trouver le terme général :

\left(1,2,\dfrac{1}{2},3,\dfrac{1}{3},\dfrac{2}{3},4,\dfrac{1}{4},\dfrac{3}{4},5, \dfrac{1}{5}, \dfrac{2}{5}, \dfrac{3}{5}, \dfrac{4}{5}, 6,\dfrac{1}{6},\cdots\right)

Posté par
LERAOULre : bijection entre les parties dénombrables 30-09-17 à 00:10

je ne vois pas le terme général de ta suite.

Posté par
carpediemre : bijection entre les parties dénombrables 30-09-17 à 00:36

ben c'est simple : il récite toutes les fractions ... dans un certain ordre ....

Posté par
LERAOULre : bijection entre les parties dénombrables 30-09-17 à 00:45

quoi!

Posté par
LERAOULre : bijection entre les parties dénombrables 30-09-17 à 00:57

je ne vois pas vraiment

Posté par
carpediemre : bijection entre les parties dénombrables 30-09-17 à 09:57

ben pour tout entier n il considère les fractions k/n avec 0 < k < n ...

Posté par
luzakre : bijection entre les parties dénombrables 30-09-17 à 10:27

Salut jsvdb !
Il a demandé l'ensemble \Q ! Je ne vois que des rationnels positifs.

Posté par
jsvdbre : bijection entre les parties dénombrables 30-09-17 à 16:16

Pourtant, compte tenu du premier post, je vois tout le monde...
Comme l'a chanté Charles Trenet autrefois " il suffit pour ça d'un peu d'imagination "

Posté par
luzakre : bijection entre les parties dénombrables 30-09-17 à 18:10

Tu vois des rationnels négatifs dans ta liste ?

carpediem @ 30-09-2017 à 00:36

ben c'est simple : il récite toutes les fractions ... dans un certain ordre ....

Le problème c'est qu'on verra plusieurs fractions égales et l'application ne me semble pas bijective.

Je me demande même s'il est si facile de donner explicitement une bijection entre \N et \Q_+.

La liste proposée, il me semble, est une bijection de \N^2 sur \N et on a une encore plus simple avec (p,q)\in\N^2\mapsto 2^p(2q+1)-1 (celle-là est explicite).

Pour passer à une bijection avec \Q il me semble obligatoire de prendre en compte les représentants (m,n)\in\N\times \N^* d'un rationnel.

C'est facile avec \Z puisque tout entier rationnel est représenté par (n,0) ou (0,n).

Dans le cas des rationnels, je ne vois rien d'immédiat : bien entendu tout rationnel r est représenté par une famille dénombrable de couples de \Z\times\N^* mais "sortir" un représentant "canonique" ...
Et je me demande s'il n'est pas obligatoire de passer par :
toute réunion dénombrable de dénombrables est dénombrable, le produit cartésien de dénombrables est dénombrable.

J'ai bien essayé de prendre le raccourci classique : il suffit qu'il existe une surjection de \N sur A pour qu'il soit dénombrable mais la manipulation de l'ensemble des indices dénombrable n'est pas immédiat.

Posté par
jsvdbre : bijection entre les parties dénombrables 30-09-17 à 19:04

Citation :
Tu vois des rationnels négatifs dans ta liste ?

"L'essentiel est invisible pour les yeux" ... ok j'arrête

Plus sérieusement :
une bijection entre Q+ et N étant donnée avec b(0) = 0 (j'ai oublié 0 dans ma liste) alors une bijection entre Q_ et -N est alors immédiate (avec b'(0) = 0).
Une bijection entre Q et Z est alors tout aussi immédiate.

Citation :
Je me demande même s'il est si facile de donner explicitement une bijection entre \N et \Q_+.

Il ne me semble pas. En revanche on peut bidouiller un truc du genre :
si a_{k_i}=i alors pour les indices k_i + 1 à k_{i+1}-1, les valeurs correspondantes de la suite seront les \dfrac{p}{k_i} irréductibles pour p de 1 à k_i -1 . Après, si on veut on peut faire intervenir l'indicatrice d'Euler pour calculer exactement le nombre de p correspondant à un k_i. Ce sera en particulier k_i - 1 si k_i est premier

Posté par
luzakre : bijection entre les parties dénombrables 01-10-17 à 08:29

Bonjour !
Je pense que LERAOUL devrait nous dire pourquoi il a besoin de ces bijections.
Curiosité  personnelle ? C'est louable mais je crois qu'il va être déçu.
Résolution d'un exercice précis ? Sans autre indication, je ne cherche plus.
Besoin de savoir pourquoi \Q est dénombrable ?

Là je suggère d'utiliser les équivalences classiques :
  ensemble A dénombrable
  bijection entre A et une partie infinie de \N
  injection de A dans une partie infinie de \N
  surjection d'un ensemble dénombrable sur A

Les deux dernières propriétés  donnent dans le cas de rationnels :
(p,q)\mapsto 2^p3^q est une injection de \N\times\N^* dans \N donc \N\times\N^* dénombrable ainsi que \Z\times\N^*.
(p,q)\in\Z\times\N^*\mapsto\dfrac pq est une surjection de  \Z\times\N^* sur \Q.

Posté par
DOMOREAre : bijection entre les parties dénombrables 01-10-17 à 21:42

bonjour,
On peut en travaillant un peu, construire une bijection f  de \mathbb{N} dans \mathbb{Z}\times \mathbb{Z}
Un parcours possible f(0)=0 puis on part de (1,1) ,f(1)=(1,1) et on circule dans le sens trigonométrique sur des carrés Ci (Ai Bi Ci Di)successifs emboités
Ainsi le carré C1 a pour sommets A1(1,1),B1(-1,1); C1(-1,-1) D1(1,-1) il est constitué de 8 couples puis on passe à A2  le départ est A2 (2,2) ... ce second carré est constitué de 16 couples,  etc Pour numéroter on fait appel à des suites assez élémentaires, n-1 carrés successifs emboités complets fournissent 4n(n-1) couples , Pour poursuivre la numérotation à l'intérieur d'un carré il faut distinguer la position d'un couple sur un côté

Formules trouvées . un couple (p,q) est sur le carré dont le sommet Ap(x=max(|p|;|q|)

si x=q et p différent de q alors 4x(x-1)+x-p+1 est le numéro de (p,q)
si x=-p et p différent de q alors 4x(x-1)+2x+x-q+1 est le numéro de (p,q)
si x=-q et p différent de -q alors 4x(x-1)+4x+x+p+1 est le numéro de (p,q)
si x=p et p différent de q alors 4x(x-1)+6x+x+q+1 est le numéro de (p,q)


Ensuite on quotiente  \mathbb{Z}\times \mathbb{Z} par une relation d'équivalence
(classe de (0,0)= {(0,q);(p,0) (0,0)}, p,q danx Z* ) pour (p,q)\neq classe de (0,0)  classiquement on définit (p,q)R(p',q') equiv à pq'=p'q
\mathbb{Q} est en bijection avec \mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/R
Dans chaque classe on choisit le représentant unique dont le numérateur et denominateur sont premiers entre eux.

on a ainsi une injection de  \mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/R= \mathbb{Q}^*dans \mathbb[N]

comme il existe une injection évidente de \mathbb[N] dans \mathbb{Q}, il existe une bijection entre les 2 ensembles

Posté par
luzakre : bijection entre les parties dénombrables 02-10-17 à 08:23

Bonjour !
Que \Q soit dénombrable ne fait pas de doutes, on le démontre de diverses façons.

Par exemple :
\Z\times\N^* est dénombrable par l'injection f définie par f(p,q)=2^{-2p}3^q si p<0 et  f(p,q)=2^{2p+1}3^q si p\geqslant0 !

Une surjection (évidente) de \Z\times \N^* sur \Q suffit alors pour prouver que \Q est dénombrable.

Ce qui est plus délicat c'est de proposer une bijection explicite entre \Q,\;\N !

Posté par
jsvdbre : bijection entre les parties dénombrables 03-10-17 à 00:21

Pour tout réel x, on pose {x} sa partie fractionnaire et [x] sa partie entière.

Soit f(x) = \dfrac{1}{[x]+1-\{x\}}

Soit x_0 = 1 et x_{n+1}=f(x_n) pour tout n > 0.

La suite n \mapsto x_n est alors une bijection explicite de \N sur \Q^*.

En déduire une bijection explicite de \N sur \Q est alors élémentaire.

Posté par
luzakre : bijection entre les parties dénombrables 03-10-17 à 08:11

Bonjour jsvdb (et merci pour ton mail !)
Comme f(x)\leqslant1 je vois mal la surjection sur \Q^*.

Avec tes notations, c'est bien \{x\}=x-[x] ?

Posté par
jsvdbre : bijection entre les parties dénombrables 03-10-17 à 09:07

Tout à fait, et on peut remarquer que si la partie entière de x est nulle alors f(x) 1.

Posté par
jsvdbre : bijection entre les parties dénombrables 29-09-18 à 23:33

On peut construire les premiers termes de la suite :

1, \dfrac{1}{2}, 2, \dfrac{1}{3}, \dfrac{3}{2}, \dfrac{2}{3}, 3,\dfrac{1}{4},\dfrac{4}{3},\dfrac{3}{5},\dfrac{5}{2},\dfrac{2}{5},\dfrac{5}{3},\dfrac{3}{4},4\cdots


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