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Bloqué sur une somme

Posté par
durlaprepa
18-01-25 à 23:04

Bonsoir je suis bloqué sur le calcul de la somme suivante :
A = somme de k=0 a n ((-1/4)**k*(2n+1-k;k) avec le (2n+1-k;k) étant un coefficient binomial. J'ai essayé tt sortes de changement d'indices pour me ramener à un binôme de newton mais rien n'y fait. Auriez vous des idées?

Posté par
supatomic
re : Bloqué sur une somme 19-01-25 à 03:40

Bonsoir,

Voici une méthode assez fastidieuse (je n'ai pas trouvé mieux) :

On pose pour tout n  \geq 0 , B_n = \sum_{k=0}^{n}{\binom{2n-k}{k}(-\frac{1}{4})^k}. On détermine ensuite deux relations entre les A_n et les B_n (grâce à une relation de Pascal). On montre ensuite par récurrence que A_n = \frac{n+1}{4^n} et que B_n = \frac{2n+1}{4^n}.

Cependant cette méthode n'est pas très subtile.

Posté par
durlaprepa
re : Bloqué sur une somme 19-01-25 à 09:02

Pardon j'aurais du préciser qu'on trouvait directement dans les questions précédente une relation entre An et Bn exactement comme tu l'as posé. Mais comment as tu trouvé  la formule  à montrer par récurrence?

Posté par
supatomic
re : Bloqué sur une somme 19-01-25 à 09:22

Pour A_n j'ai fait des exemples jusqu'à n=4 ou 5. Puis j'en ai déduit B_n grâce à la relation trouvée. (Tout ça au brouillon je précise). Puis il ne manquait plus que de rédiger proprement la récurrence.

Posté par
durlaprepa
re : Bloqué sur une somme 19-01-25 à 09:34

Merci beaucoup il n'y avait aucune indication de récurrence donc j'avoue que j'étais plutôt bloqué. Je dois calculer quasiment la même somme mais avec 2**k à la place de (-1/4)**k mais cette fois je connais le résultat à trouver grâce à l'énoncé donc faire une récurrence semble évident cette fois non?

Posté par
supatomic
re : Bloqué sur une somme 19-01-25 à 09:45

Oui je pense que ça fonctionne (j'ai pas essayé). J'ai pensé à la récurrence surtout parce qu'on dispose d'une relation entre A_n et B_n .

Posté par
durlaprepa
re : Bloqué sur une somme 19-01-25 à 10:24

Je viens de finir de rédiger les 2 récurrences tt marche bien merci beaucoup

Posté par
supatomic
re : Bloqué sur une somme 19-01-25 à 10:48

De rien

Posté par
jandri Correcteur
re : Bloqué sur une somme 22-01-25 à 23:09

Bonsoir,

on peut généraliser en calculant la somme S_n=\sum_{k=0}^n\dbinom{n-k}{k}x^k.

Par la relation de Pascal on obtient S_n=S_{n-1}+xS_{n-2}

L'équation caractéristique t^2-t-x=0 a pour racines t_1=\dfrac{1+\delta}2 et t_2=\dfrac{1-\delta}2 avec \delta^2=1+4x

Quand x\neq-\dfrac14 on obtient S_n=\dfrac{t_1^{n+1}-t_2^{n+1}}{\delta}

Quand x=-\dfrac14 on obtient S_n=\dfrac{n+1}{2^n}

On résout le problème initial avec A_n=S_{2n+1} et B_n=S_{2n} pour x=-\dfrac14 et pour x=2



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