Le PGCD (plus grand diviseur commun)

Pour determiner le PGCD de 2 nombres
tu as 3 manieres

Soit tu cherche pour chaque nombres, ses diviseurs
(ca peut etre long) et lorsque tu as fini tu cherche les 2 plus grand diviseur commun de ces 2 nombre

Soit tu utilise la méthode par soustractions successive
PGCD de 520 et 336

Par soustractions successive

520-336=184
336-184=152
184-152=32
152-32=120
120-32=88
88-32=56
56-32=24
32-24=8
24-8=16
16-8=8
8-8=0

Donc 8 est le PGCD de ses 2 nombres

Par divisions successives

le quotient est 1 et le reste est de 184
le diviseur devient dividende et le reste devient diviseur
le quotient est de 1 et le reste est de 152
quotient = 1 reste = 32
quotient est 4 et le reste est de 24
quotient 1 et reste=8
quotient 3 et reste = 0

Donc 8 est le PGCD de ses 2 nombres

Fraction irréductible

Considerons la fraction
Pour obtenir la fraction irréductible, tu dois déviser le numérateur et le dénominateur par leur PGCD
PGCD {520,336}=8



Maintenant, je te donne un exo : calcule le PGCD de 65 et 42

Skops

Pour les systeme d'équation a 2 inconnue

Exo pris sur l'ile

Paul va au marché. Il achète trois tomates et quatre poireaux. Il paye 2,65 €. Marie, quant à elle, paye 1,30 € pour 5 tomates et 1 poireau.
Quel est le prix d'un poireau ? d'une tomate ?

Tout d'abord, qu'est ce que l'on cherche, c'est le prix d'un poireau et d'une tomate, apellons alors x le prix d'une tomate et y le prix d'un poireau

Maintenant, il faut traduire l'énoncé en systeme d'équations
Si une tomate représente x, alors 3 tomates représentent 3x
pareil pour les poireaux,si un poireau représente y alors 4 poireau représentent 4y

Donc Paul va au marché et achete 3 tomates (donc 3x) et 4 poireau (donc 4y) et il paye 2.65

Donc ta premiere équation est 3x+4y=2.65

Marie achete 5 tomate (5x) et un poireau (1y qui correspont aussi a y)
et elle paye 1.30€
Donc ta deuxieme est la suivante
5x+y=1.30

Donc ton systeme d'équation est :




maintenant il faut la résoudre
Pour cela, il faut isoler une inconnu, la la plus facile est y dans la deuxieme équation

donc

Pourquoi c'est plus facile, parce que il n'y a qu'une soustraction 1.30-5x
En effet, essayons d'isoler y dans la premiere équation

=


Et la on se retrouve avec une soustraction et une fraction en plus, donc il vaut mieux prendre le plus facile (c'est possible avec une fraction cependant)

revenons a y
Tu sais que c'est égale a
Donc tu as isoler y dans la deuxieme équation, donc maintenant dans la premiere équation,tu vas remplacer y par 1.30-5x



Et la tu te retrouve avec une équation avec une inconnue (que tu sais faire)







Donc une tomate coute 0.15€
Maintenant y
Tu sais que y est égale a

Tu connais donc x



Donc le poireau coute 0.55€
Demande si il y a un truc que tu comprend pas

Skops

Système de 2 équations à 2 inconnues par un exemple:

Soit le système:

2x - 3y = 7
3x + 5y = 1
-----

Première façon de résoudre le système:

2x - 3y = 7
3x + 5y = 1

On isole une des 2 variables d'une des 2 équations.
Par exemple:
2x - 3y = 7
2x = 7 + 3y
x = (1/2).(7 + 3y)
x = (7/2) + (3/2)y

On remplace x par ce qu'on vient de trouver dans l'autre équation:
3x + 5y = 1
3.[(7/2) + (3/2)y] + 5y = 1
(21/2) + (9/2)y + 5y = 1
(9/2)y + 5y = 1 - (21/2)
(9/2)y + (10/2)y = (2/2) - (21/2)
(19/2)y  = -19/2
y = -1

On remplace alors y par -1 dans n'importe quelle équation de départ pour trouver x:
2x - 3y = 7
2x - 3 X (-1) = 7
2x + 3 = 7
2x = 7-3 = 4
x = 2

Finalement: S:{x = 2 et y = -1}
-----
Seconde façon de résoudre le système:

2x - 3y = 7
3x + 5y = 1

On essaie d'avoir un même coéfficient (au signe près) pour une des 2 variables dans les 2 équations.
On peut par exemple ici multiplier les 2 membres de la première équation par 3 et les 2 membres de la seconde équation par 2.
On a alors:

6x - 9y = 21
6x + 10y = 2

On fait "disparaître" une des 2 inconnues en soustrayant les 2 équations membre à membre -->

6x - 9y - (6x + 10y) = 21 - 2
6x - 9y - 6x - 10y = 19
-19y = 19
y = -1

On remplace alors y par -1 dans n'importe quelle équation de départ pour trouver x:
2x - 3y = 7
2x - 3 X (-1) = 7
2x + 3 = 7
2x = 7-3 = 4
x = 2

Finalement: S:{x = 2 et y = -1}
-----
Remarque: ici, comme dans le système:
6x - 9y = 21
6x + 10y = 2
les coefficient en x étaient les mêmes, on a soustrait les 2 équations membres à membres.
Si on avait eu des coefficient en x de signes contraires, on aurait alors AJOUTé les 2 équations membre à membre pour faire disparâitre les X.
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Il y a quelques explications (trop peu ?) sur le PGCD dans les fiches de maths.

Merci beaucoup pour vos expications J-P !
Merci de m'avoir fait rappeler d'aller voir ds les fiches j'avais completement oublier, je vais aller voir.

Merci beaucoup Skops tu m'as éclairée sur ce sujet !
Ca va j'ai compris l'exo sur le système.
Mais je voulais savoir quelle est la méthode que tu me conseillerai de prendre si je tombe sur le PGCD au brevet.
Et je voulais savoir comment fait-on losqu'on qu'il y a un problème a résoudre avec le PGCD.
Merci beaucoup de me répondre.

Et bien moi pour ma part j'utilise la divisions successive, la soustraction j'ai jamais reussis jusqu'a maintenant

Skops


*** message déplacé ***

*** message déplacé ***

Pour le PGCD, t'aurais pas un exo, parce que moi j'en trouve pas

Skops

slt a tous,

pour nos amis qui passent le brevet :

calculer le pgcd de 654 et 594

+

654 = 594x1 + 60
594 = 60x9 + 54
60  = 54x1 + 6
54  = 6x9 + 0

Donc Pgcd(654;594)=6

C'est ça ???
Je suis trop fort ! ça y'est, je suis prêt pour le brevet !! youpi !!!

bien bien Archang21

comment s'appelle ce que tu vien d'effectuer et quelle propriété a tu utiliser pour trouver ce résultat ?

++

C'est l'algorythme d'Euclide .
J'ai trouvé le reste dans la divison Euclidienne de 654 par 594 ...
Ciao
PS : lol

le dernier reste non nul effectivement ...

en voila un qui risque de frapper fort pour ce brevet

++