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Niveau seconde
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Calcul

Posté par
RX1TOP
10-11-22 à 19:01

Salut Tous le Monde et Bonsoir !
Depuis quelque jour notre prof nous a redonné une question :

On a      :                   abc=1

Mq :                   (a/(ab+a+1)) +(b/(bc+b+1)) + (c/(ac+c+1)) = 1

Et Merciiiii !

Posté par
alb12
re : Calcul 10-11-22 à 19:30

salut,
pour avoir une reponse il faut nous montrer ce que tu as tenté.

Posté par
RX1TOP
re : Calcul 10-11-22 à 19:36

Re :
Oui oui désolé ,
Alors j'avais tenté d'avoir un dénominateur commun mais le développement donnait plusieurs produit pas sous la forme abc .

Posté par
alb12
re : Calcul 10-11-22 à 19:48

oui on peut reduire au meme denominateur les fractions du membre de gauche pour obtenir N/D
Qu'obtiens-tu ?

Posté par
RX1TOP
re : Calcul 10-11-22 à 19:58

Je l'ai réduit et j'obtiens :

((1+ab2+2ab+b)/(b+2+2bc+2b+ab2+ab)) + (c/(ac+c+1)) =1
Puis ?

Posté par
alb12
re : Calcul 10-11-22 à 21:21

il faut reduire les 3 fractions

Posté par
RX1TOP
re : Calcul 10-11-22 à 23:11

Re :
Le problème quand je fais ceci , ça me donne des nombres insensés !

Posté par
RX1TOP
re : Calcul 10-11-22 à 23:11

Je ne trouve aucune relation que résoudra le problème !

Posté par
miguelxg
re : Calcul 10-11-22 à 23:43

salut
je pense que si tu tentes de tout mettre sous le même dénominateur, ça va être assez moche

déjà petite remarque, comme abc = 1, les trois valeurs a, b, et c sont non nulles
du coup je te propose une piste : essaie par exemple de remplacer, dans la première fraction, le 1 par abc, et de multiplier par b en haut et en bas dans la troisième fraction
moyennant quelques factorisations et simplifications très faciles, tu devrais trouver le résultat souhaité

tiens-moi au courant

Posté par
carpediem
re : Calcul 11-11-22 à 10:30

salut

ab + a + 1 = ab + a + abc = a(bc + b + 1) donc  \dfrac a {ab + a + 1} = \dfrac 1 {bc + b + 1}

de même \dfrac b {bc + b + 1} = \dfrac 1 {a + c + 1} $ et $ \dfrac c {ca + c + 1} = \dfrac 1 {ab + a + 1}

réduire au même dénominateur ave es trois fractions est plus simple ...

Posté par
alb12
re : Calcul 11-11-22 à 13:56

un probleme voisin avec Xcas pour Firefox

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Calcul 11-11-22 à 16:36

Bonjour,
On peut y arriver sans réduire au même dénominateur de manière compliquée, ni beaucoup factoriser.
On casse la symétrie, mais je trouve quand même que c'est assez joli.
Je démarre comme miguelxg :
Remplacer, dans la première fraction, le 1 par abc.
On peut simplifier la nouvelle fraction.
Les deux premières fractions ont alors le même dénominateur.
Je vous laisse trouver comment transformer la 3ème fraction pour qu'elle ait aussi le même dénominateur.

Posté par
miguelxg
re : Calcul 11-11-22 à 16:39

exactement, c'est à ça que j'espérais qu'il arrive en commençant par faire ce que je lui avais proposé

Posté par
carpediem
re : Calcul 11-11-22 à 16:44

s = \dfrac a {ab + a + 1} + \dfrac b {bc + b + 1} + \dfrac c {ca + c + 1}

s = \dfrac {ca} {1 + ca + c}} + \dfrac {ab} {1 + ab + a} + \dfrac {bc} {1 + bc + b}

s = \dfrac 1 {b + 1 + bc} + \dfrac 1 {c + 1 + ca} + \dfrac 1 {a + 1 + ab}

et il suffit d'additionner ...

à chaque étape je multiplie numérateur et dénominateur de chaque fraction par un certain nombre

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Calcul 11-11-22 à 17:22

Pas mal

Posté par
carpediem
re : Calcul 11-11-22 à 17:55

en fait tout vient de cette "circularité" étonnante (car je n'arrive pas à "la justifier par une formule" ) des dénominateurs du fait que abc = 1 :

quel que soit le dénominateur si on le multiplie par la "variable manquante" on tombe sur l'un des autres dénominateurs puis en recommençant on tombe sur le troisième dénominateur (et évidemment en recommençant une dernière fois on revient au point de départ puisque abc = 1)

les numérateurs valent alors successivement les trois termes de ce premier dénominateur

donc en additionnant tout se simplifie ...

Posté par
alb12
re : Calcul 11-11-22 à 21:41

RX1TOP @ 10-11-2022 à 23:11

Re :
Le problème quand je fais ceci , ça me donne des nombres insensés !

soit E=a/(a*b+a+1)+b/(b*c+b+1)+c/(a*c+c+1)-1=N/D-1=(N-D)/D
On va essayer de simplifier N-D
On developpe N (16 termes)
On developpe D (18 termes)
on biffe les termes identiques dans N et D
il ne reste que 4 termes !
on en deduit une factorisation de N-D

Cette demo pour penible qu'elle soit a un avantage:
ton prof ne doutera pas qu'elle vient de toi

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Calcul 12-11-22 à 13:23

Oui, gros avantage

Posté par
alb12
re : Calcul 12-11-22 à 14:04

Exercice proche.
Soit a, b, c 3 réels positifs.

$Soit $E=\dfrac{a}{ab+a+1}+\dfrac{b}{bc+b+1}+\dfrac{c}{ac+c+1}

Montrer que E\leqslant1. Dans quel cas a-t-on l'égalité ?

J'espère avoir bien placé les balises

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Calcul 12-11-22 à 16:05

Oui, les balises semblent fonctionner
Poser l'exercice dans le forum détente pourrait attirer plus de participants ; et ils pourraient blanker.

Posté par
alb12
re : Calcul 12-11-22 à 17:39

ok

Posté par
alb12
re : Calcul 12-11-22 à 20:21

Affligeant !

malou edit > date de 2016

Posté par
RX1TOP
re : Calcul 12-11-22 à 21:55

Rebonjour tout le monde,
J'apprécie votre intérêt en ce sujet ,vraiment . Et la raison de mon absence est que j'avais pas de temps libre en fait (les contrôles ...)

alb12 @ 11-11-2022 à 21:41


soit E=a/(a*b+a+1)+b/(b*c+b+1)+c/(a*c+c+1)-1=N/D-1=(N-D)/D
On va essayer de simplifier N-D
On developpe N (16 termes)
On developpe D (18 termes)
on biffe les termes identiques dans N et D
il ne reste que 4 termes !
on en déduit une factorisation de N-D

Cette démo pour pénible qu'elle soit à un avantage:
ton prof ne doutera pas qu'elle vient de toi

Merci tellement à toi.
carpediem @ 11-11-2022 à 16:44

s = \dfrac a {ab + a + 1} + \dfrac b {bc + b + 1} + \dfrac c {ca + c + 1}

s = \dfrac {ca} {1 + ca + c}} + \dfrac {ab} {1 + ab + a} + \dfrac {bc} {1 + bc + b}

s = \dfrac 1 {b + 1 + bc} + \dfrac 1 {c + 1 + ca} + \dfrac 1 {a + 1 + ab}

et il suffit d'additionner ...

à chaque étape je multiplie numérateur et dénominateur de chaque fraction par un certain nombre

à toi aussi Carpediem pour votre contribution constatante.:D

Posté par
carpediem
re : Calcul 12-11-22 à 22:29

c'est quoi une contribution constatante ?

Posté par
alb12
re : Calcul 13-11-22 à 20:18

malou edit > date de 2016
oui je voulais juste souligner que les eleves n'ont plus besoin de chercher...



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