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Calcul d'aire d'une ellipse avec intégration

Posté par
laotze 09-06-07 à 22:41

Bonsoir à tous:

Comme le titre l'indique, je n'arrive pas à intégrer la fonction f(x)= \sqrt {a - bx^2 }((a;b) \in \Re_+^2)

Auriez-vous une idée? (j'ai essayé avec la calculatrice, le résultat est assez compliqué, j'aimerais bien avoir l'idée de retrouver la même réponse... )

(NB: J'ai le niveau d'un élève en TS)

Merci d'avance.

Posté par
infophilere : Calcul d'aire d'une ellipse avec intégration 09-06-07 à 22:44

Salut

Une primitive est 3$ \rm x\to \sqrt{a-bx^2}.x

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Calcul d'aire d'une ellipse avec intégration 09-06-07 à 22:46

Bonjour

tu dois utiliser un changement de variable

Posté par
laotzere: Calcul d'aire d'une ellipse avec intégration 09-06-07 à 23:00

Merci à vous deux! (à 23 heures, chapeau bas)

>>infophile: J'ai dérivé la primitive que tu as donnée, je n'ai pas retrouvé f... à moins que X ne soit pas x ou alors je me gouré lamentablement.

>>monrow: j'ai essayé x=sinX, mais c'est encore plus compliqué (je n'ai pas eu d'autres idées, alors, je suis un peu borné là... )

Posté par
infophilere : Calcul d'aire d'une ellipse avec intégration 09-06-07 à 23:07

Effectivement ma calculette s'excuse

Posté par
infophilere : Calcul d'aire d'une ellipse avec intégration 09-06-07 à 23:16

Ok alors un truc bien bourrin :

3$ \rm x\to \frac{a\sqrt{b}.\sin^{-1}\(\frac{\sqrt{ab}x}{a}\)}{2b}+\frac{x\sqrt{a-bx^2}}{2}

Et j'en suis pas sûr, c'est en faisant des essais avec ma calculette.

Posté par
laotzere: Calcul d'aire d'une ellipse avec intégration 09-06-07 à 23:19

Aaaah, le voilà! c'est monstrueux!

Merci infophile! (C'est exactement ça, avec arcsin)

Maintenant, j'aimerais bien (si si ) savoir la méthode pour y parvenir .

Vivement les idées (ça me dépasse complètement...)

Posté par
infophilere : Calcul d'aire d'une ellipse avec intégration 09-06-07 à 23:21

Bon sincèrement ça me dépasse aussi

Je vais y réfléchir, et si je trouve pas j'appelle du renfort

Posté par
laotzere: Calcul d'aire d'une ellipse avec intégration 09-06-07 à 23:23

Merci beaucoup! Ne dors trop tard quand même!

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Calcul d'aire d'une ellipse avec intégration 09-06-07 à 23:26

re

factorie par b à l'intérieur de la racine puis pose: x=rac(b/a)cos(t)

sauf erreur

Posté par
laotzere: Calcul d'aire d'une ellipse avec intégration 09-06-07 à 23:59

OK:

J'essaie (je n'ai pas l'impression, en un coup d'oeil, que  
ça va donner le résultat rescompté, mais bon...voyons):

On intègre la fonction f sur l'ensemble où elle est continue:

\int f (x)dx = \int {\sqrt {a - bx^2 } } dx

=on fait un changement de variable x=\sqrt {\frac{a}{b}} \cos t

donc:\int f (x)dx =\int {\sqrt {a - b\left( {\sqrt {\frac{a}{b}} } \right)^2 \cos ^2 t} } d\sqrt {\frac{a}{b}} \cos t = \int { - \sqrt {a - b\frac{a}{b}\cos ^2 t} \sqrt {\frac{a}{b}} \sin tdt}= \int { - \sqrt {1 - \cos ^2 t} \frac{a}{{\sqrt b }}\sin tdt}= \frac{a}{{\sqrt b }}\int { - \left| {\sin t} \right|} \sin tdt

...et là:

sur\left[ { - \pi /2;0} \right]:\frac{a}{{\sqrt b }}\int { - \left| {\sin t} \right|} \sin tdt =- \frac{a}{{\sqrt b }}\int {\sin ^2 tdt}

et sur \left[ {0;\pi /2} \right]:\frac{a}{{\sqrt b }}\int { - \left| {\sin t} \right|} \sin tdt = \frac{a}{{\sqrt b }}\int {\sin ^2 tdt}

C'est déjà ça ou pas?

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Calcul d'aire d'une ellipse avec intégration 10-06-07 à 00:07

peut-être... J'ai pas des neurones suffisantes maintenant pour lire tout ça

Posté par
infophilere : Calcul d'aire d'une ellipse avec intégration 10-06-07 à 00:09

Pourquoi ce changement de variable monrow ?

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Calcul d'aire d'une ellipse avec intégration 10-06-07 à 00:18

pour calculer l'intégrale

Posté par
infophilere : Calcul d'aire d'une ellipse avec intégration 10-06-07 à 00:19

Oui ok mais d'où vient cette idée ? Tu as aboutit à quelque chose ?

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Calcul d'aire d'une ellipse avec intégration 10-06-07 à 00:21

non... On avait un examen qui lui ressemblait C'est tout

Posté par
laotzere: Calcul d'aire d'une ellipse avec intégration 10-06-07 à 00:53

Ok:

Je me suis trompé de signe : sur [0;pi/2], on a - \frac{a}{{\sqrt b }}\int {\sin ^2 tdt}
et sur [-pi/2;0]: \frac{a}{{\sqrt b }}\int {\sin ^2 tdt}

...sur ce, continuons (après une douche rafraîchissante):

sur [0;pi/2]:\frac{a}{{\sqrt b }}\int { - \left| {\sin t} \right|} \sin tdt =- \frac{a}{{\sqrt b }}\int {\sin ^2 tdt}=- \frac{a}{{\sqrt b }}\int {\frac{1}{2}\cos (2t) - \frac{1}{2}dt}=- \frac{a}{{\sqrt b }}\left[ {\frac{1}{4}\sin (2t) - \frac{1}{2}t} \right] = \frac{a}{{2\sqrt b }}\left[ { - \frac{1}{2}\sin (2t) + t} \right]

et
sur [-pi/2;0]:
\begin{array}{l}\frac{a}{{\sqrt b }}\int { - \left| {\sin t} \right|} \sin tdt = \frac{a}{{\sqrt b }}\int {\sin ^2 tdt}= \frac{a}{{\sqrt b }}\int {\frac{1}{2}\cos (2t) - \frac{1}{2}dt}= \frac{a}{{\sqrt b }}\left[ {\frac{1}{4}\sin (2t) - \frac{1}{2}t} \right] = \frac{a}{{2\sqrt b }}\left[ {\frac{1}{2}\sin (2t) - t} \right] \end{array}

Posté par
laotzere: Calcul d'aire d'une ellipse avec intégration 10-06-07 à 01:05

revenons au x:

t = arc\cos (\sqrt {\frac{b}{a}} x)

sur [0;pi/2]:

\frac{a}{{2\sqrt b }}\left[ { - \frac{1}{2}\sin (2t) + t} \right] = \frac{a}{{2\sqrt b }}\left[ { - \frac{1}{2}\sin (2arc\cos (\sqrt {\frac{b}{a}} x)) + arc\cos (\sqrt {\frac{b}{a}} x)} \right] = \frac{a}{{2\sqrt b }}\left[ { - \frac{1}{2}\sin (2arc\cos (\sqrt {\frac{b}{a}} x)) + arc\cos (\sqrt {\frac{b}{a}} x)} \right]

Là je me bloque pour deux trucs:

Ca ne ressemble pas au résultat au lieu d'avoir sin-1 j'ai cos-1 et encore...

et puis je ne sais pas calculer sin(2arccos({(\sqrt {\frac{b}{a}} x)}))

Merci pour vos avis (je me suis forcémet trompé quelque part...
)

Posté par
patrice rabillerre : Calcul d'aire d'une ellipse avec intégration 10-06-07 à 06:31

Bonjour,

Ton résultat n'est pas forcément faux : il est peut-être simplifiable...

J'arrive au même résultat que toi au début :

4$\bigint_{2$-\sqrt{b/a}}^{2$\sqrt{b/a}}\sqrt{a-bx^2}dx=-\frac{a}{\sqrt b}\int_{\pi}^{0}|\sin t|\sin t dt.

Or, sur l'intervalle [0,] sint0

Donc 4$\bigint_{2$-\sqrt{b/a}}^{2$\sqrt{b/a}}\sqrt{a-bx^2}dx=-\frac{a}{\sqrt b}\int_{\pi}^0\sin^2 t dt

À partir de là on obtient :

4$\bigint_{2$-\sqrt{b/a}}^{2$\sqrt{b/a}}\sqrt{a-bx^2}dx=-\frac{a}{\sqrt b}\int_{\pi}^0 \frac 1 2+\frac 1 2 \cos(2t)dt=\frac{a}{\sqrt b}\int_0^{\pi} \frac 1 2+\frac 1 2 \cos(2t)dt=\frac{a\sqrt b}{b}\[\frac t 2 +\frac 1 4\sin(2t)\]_0^{\pi}=\frac{a\sqrt b}{b}\frac{\pi}{2}... sauf erreur

Le calcul de l'intégrale n'oblige pas à revenir à la variable x...

Posté par
laotzere: 10-06-07 à 15:49

OK merci! (en fait, c'est vrai qu'en calculant avec les bornes d'intégration, on arrive bien à expliciter la formule d'aire d'ellipse, mais par rapport à la formule de  la calculatrice (affichée avec le variable x), je vois mal
comment on peut y arriver...

En tout cas, c'est déjà ça, merci beaucoup à tous!

Posté par
laotzere: encore une question 10-06-07 à 18:31

Bon, j'ai encore une question à vous poser (desolé d'être aussi embêtant):
On a étudié en Terminal S le volume de révolution, mais à chaque fois on passe par l'intégration une surface de disque sur une intervalle (voyez vous ce que je veux dire?).

Je ne sais pas si au lieu de calculer un volume de révolution à partir d'un disque on part d'un autre type de
figure (une ellipse par exemple).

Merci

Posté par
laotzere: 10-06-07 à 22:45

une idée?

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Calcul d'aire d'une ellipse avec intégration 11-06-07 à 11:07

Ben c'est impossible qu'il décrive une ellipse, puisque chaque point en rotation ne change pas de rayon..

Posté par
laotzere: 11-06-07 à 21:05

Merci d'avoir ôté le doute de ma tête.

En fait, juste par curiosité je voulais savoir comment procède-t-on pour avoir l'équation d'une ellipsoïde pleine... ou devrais-je dire, peut-on la trouver avec les moyens de TS ou il faut plus (et quels "outils" ou notions
particulières doit-on avoir en tête)?

Merci

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Calcul d'aire d'une ellipse avec intégration 11-06-07 à 21:11

ce que je sais:

son équation:

\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{c^2}{z^2}=1

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Calcul d'aire d'une ellipse avec intégration 11-06-07 à 21:13

je ne pense pas qu'on a les outils en terminale...

C'est du programme sup puisque ça utilise les espaces euclidiens à ce que je sais

Posté par
laotzere: 11-06-07 à 21:22

Merci beaucoup monrow!
Je vais voir un peu si c'est chaud...

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Calcul d'aire d'une ellipse avec intégration 11-06-07 à 21:24

ok

pas de problème

erreur sur la formule:

\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1

Posté par
laotzere: 11-06-07 à 21:31

Je rêve... "J'avais une grande gueule" je ne vais pas l'ouvrir avant longtemps...


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