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Calcul d'intégrale

Posté par
Mathes1 10-04-21 à 14:05

Bonjour à tous,
J'ai un petit exercice merci beaucoup d'avance
Calcul l'intégral suivant:
I=\begin{aligned}\int_{0}^{1}{e^{2x}cos(2x)}\;$d$x\end{aligned}
Est ce que je dois utiliser directement la méthode d'intégration par partie ou bien effectuer un changement de variable et merci beaucoup d'avance

Posté par
Glapion Moderateurre : Calcul d'intégrale 10-04-21 à 14:15

Bonjour, intégration par parties deux fois de suite.

Posté par
malou Webmasterre : Calcul d'intégrale 10-04-21 à 14:15

Bonjour
oui, une intégration par parties, c'est bien

Posté par
Mathes1re : Calcul d'intégrale 10-04-21 à 14:42

Bonjour
D'accord ;
On pose U(x)= e2x
V '(x)=cos(2x)
U '(x) =2 e2x
V(x)= \dfrac{sin(2x)}{2}
Donc
I=I=\left[e^{2x}\dfrac{sin(2x)}{2}\right]_0^1 -\int_0^1 e^{2x} sin(2x) dx
• on pose J=\int_0^1 e^{2x} sin(2x) dx
U(x)=e^{2x} => U '(x)=2 e^{2x} ; V '(x)=sin (2x) => V(x)=- \dfrac{cos(2x) }{2}
Donc
J= \left[- e^{2x} \dfrac{cos(2x)}{2}\right]_0^1+\int_0^1 cos(2x) e^{2x} dx = \left[- e^{2x} \dfrac{cos(2x)}{2}\right]_0^1+ I
En remplace dans I :
I= \left[e^{2x}\dfrac{sin(2x)}{2}\right]_0^1 - \left[- e^{2x} \dfrac{cos(2x)}{2}\right]_0^1 +I
D'où
I= \dfrac{\left[e^{2x}\dfrac{sin(2x)}{2}\right]_0^1 - \left[- e^{2x} \dfrac{cos(2x)}{2}\right]_0^1}{2}
Merci beaucoup !

Posté par
malou Webmasterre : Calcul d'intégrale 10-04-21 à 14:48

ta dernière ligne est juste mais peut être simplifiée en écriture et calculée

Posté par
carpediemre : Calcul d'intégrale 10-04-21 à 14:57

salut

deux autres alternatives :

1/ passer par les complexes : f(x) = e^{2x} \cos 2x = Re \left(e^{2x(1 + i)} \right) et il est aisé d'en avoir une primitive ...

2/ vu la périodicité des dérivées des fonctions exp, cos et sin :

f(x)= e^{2x} \cos 2x \\ \\ f'(x) = 2e^{2x} (\cos 2x - \sin 2x) \\ \\ f''(x) = 4e^{2x} (\cos 2x - \sin 2x - \sin 2x - \cos 2x) = -8 e^{2x} \sin 2x

donc 8f(x) - 4f'(x) + f''(x) = 0 \Longrightarrow 8 \int f(x) dx = 4 \int f'(x) dx - \int f''(x)dx

Posté par
Mathes1re : Calcul d'intégrale 10-04-21 à 15:16

D'accord ;
I=I=\dfrac{\left[e^{2x}\dfrac{sin(2x)}{2}+e^{2x} \dfrac{cos(2x)}{2}\right]_0^1}{2}=\dfrac{F(1)-F(0)}{2}
=\dfrac{\dfrac{e^{2} }{2} ( sin(2)+cos(2))-\dfrac{1}{2}}{2}
Merci beaucoup

Posté par
malou Webmasterre : Calcul d'intégrale 10-04-21 à 15:27

puisqu'on est dans les alternatives
on "sait" qu'une primitive est de la forme e^{2x}(a \cos (2x) + b\sin (2x) avec a et b réels
on dérive, on identifie et on trouve a et b
et on ne fait pas d'intégration par parties

Posté par
Mathes1re : Calcul d'intégrale 10-04-21 à 15:30

Bonjour
D'accord
Je ne comprends pas le contenu de 10-04-21 à 14:57
C'est la 1er fois que je vois ceci

Posté par
carpediemre : Calcul d'intégrale 10-04-21 à 15:59

malou : cette méthode est ma deuxième alternative sans même savoir ce que tu sais ...

puisqu'à partir de la relation 8f - 4f' + f" = 0 on a tes coefficients a et b...

pour la première alternative : cos 2x est la partie réelle de \cos 2x + i \sin 2x = e^{i2x}

et on connait les primitives de e^u  (avec u(x) = ax et a réel ou complexe ...)

Posté par
malou Webmasterre : Calcul d'intégrale 10-04-21 à 16:21

carpediem, oui...mais à une époque où on en faisait beaucoup en terminale, on savait ça effectivement et on n'était même pas obligés de le rédiger comme toi.


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