Niveau Maths sup

Calcul d'une bijection réciproque

Posté par
Etcha66 11-11-16 à 13:45

Bonjour.

J'ai un peu de mal sur l'exercice qui suit, il faut en effet déterminer la bijection réciproque de cette fonction f:x[-1/a;1/a]-->arcsin(ax)+arccos(bx) où a et b sont deux réels tels que 0<b<a.
Notons que f^-1 [-/2-arccos(b/a);/2+arccos(b/a)]

Les questions précédentes m'ont permi d'établir ceci :
cos²(f(x))=x²(a²+b²-2ab*sin(f(x)))
sin(f(x))=ab*x²+((1-(bx)²)(1-(ax)²))

J'ai eu une idée mais je me perds vite dans les calculs :
on résout y = f(x) donc en passant au sinus :
sin(y) = sin(arcsin(ax)+arccos(bx)) car sin(y)=(1-cos²(y)) de façon à faire apparaître mon cos(f(x)) mais je bloque.

Pourriez-vous m'aider ?

Merci par avance.

Posté par re : Calcul d'une bijection réciproque 11-11-16 à 14:25

Si u [-/2 + n , /2 +n] et sin(u) = v alors u - n [-/2 , +/2] et (-1)ⁿ sin(u - n) = v donc u = n + Arcsin( (-1)ⁿv )

Il te faut donc , pour chaque x [-1/a , 1/a] , trouver n tel que f(x) [-/2 + n , /2 +n]

Posté par re : Calcul d'une bijection réciproque 11-11-16 à 15:33

bonjour,
@etniopal   je ne comprends pas ce que tu as fait

D'après les hypothèses $[-1/a;1/a]\subset[-1/b;1/b]$
donc en effet on peut définir f sur [-1/a;1/a] mais pour définir ta réciproque s'il elle existe il faut définir précisément ton intervalle image
posons g(x)=arcsin(ax) et h(x)=arccos(bx)
donc g: [-1/a,1/a]---> $[-\pi/2;\pi/2]$   g est croissante
             h:[-1/a;1/a]----> $[arccos(b/a); arccos(-b/a)]$ h est décroissante
la fonction g+h étant décroissante
tu ne sembles pas l'avoir vérifié
Ainsi g+h: [-1/a;1/a]----> $[arccos(b/a)+\pi/2;  arccos(-b/a)-\pi/2]$
Il me semble que les calculs ne sont guère complexes
sin(y)-abx²= $\sqrt{(1-b^2x^2)(1-a^2x^2)$

en élevant au carré les $x^4$ vont se simplifier
, tu auras une expression en x²  tu auras x en fonction de y assez simplement

Posté par re : Calcul d'une bijection réciproque 11-11-16 à 16:34

re,
alors tu ne trouves pas $x^2=\frac{1-sin^2(y)}{a^2+b^2-2absin(y)}$

vérifie que le quotient trouvé est bien positif.

$x=\pm \sqrt{\frac{1-sin^2(y)}{a^2+b^2-2absin(y)}}$
or $x\in[-1/a;1/a]$ sauf erreur , tu peux conclure, il me semble

Posté par re : Calcul d'une bijection réciproque 11-11-16 à 18:40

Je ne sais pas pourquoi , au vu de " sin(f(x))=ab*x2+((1-(bx)2)(1-(ax)2)) " , j'ai pensé qu'il fallait en déduire un truc du genre f(x) = Arcsin(...) !!

Posté par re : Calcul d'une bijection réciproque 12-11-16 à 19:52

Justement, comme x appartient à [-1/a ; 1/a] x peut être positif ou n'était.
Je prends lequel ?

Posté par re : Calcul d'une bijection réciproque 12-11-16 à 19:52

*ou négatif