Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques LycéeOn parle exclusivement de maths, niveau lycée. TerminaleForum de terminale SuitesTopics traitant de Suites [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau terminale
Partager :

calcul d une limite

Posté par
aya4545 30-12-21 à 15:37

Salut je suis incapable de calculer cette limite
voici l ennoncé de l exercice
f_n(x)=x^n+9x²-4    .        x>=0  
1)montrer f_n(x)=0 admet une solution uniqueu_n \in ]0,\frac23[
2)etudier la monotonie de (u_n) et montrer qu elle est convergente
3)on pose L=lim u_n
a) montrer que limu_n^n=0
b) en déduire la valeur de L
c) determiner lim \frac{v_n}{(\frac{2}{3})^{n}} avec v_n=L-u_n     n\in\N^*
ce que j ai pu faire
1) theoreme des valeurs intermediaires
2) on etudie le signe de f_{n+1}-f_n  sur  ]0 1[ on en déduit que (u_n) est croissante (f_n est croissante)et puisque (un) est bornée donc (un) est convergente
a) facile  u_n \in ]0,\frac23[ donc  0<=u_n^n <= (\frac23)^n
b) L=\frac23
je suis bloquée dans c) et merci

Posté par
lakere : calcul d une limite 30-12-21 à 16:49

Bonjour,

c)Je pense qu'Il est possible d'aboutir en calculant f'_n\left(\dfrac{2}{3}\right) de deux manières.

A confirmer.

Posté par
aya4545re : calcul d une limite 30-12-21 à 17:28

salut
merci lake
soit en dérivant   f_n ou bien en calculant la limite du taux
\frac{f_n(x)-f_n(\frac23)}{x-\frac23} lorsque x tend vers \frac23 on trouve la meme valeur n(\frac23)^{n-1}+12

Posté par
lakere : calcul d une limite 30-12-21 à 17:38

Oui, mais il y a des difficultés techniques en cours de route dont je n'arrive pas à me sortir.
C'est pourquoi j'ai écrit :

    

Citation :
A confirmer.


Une chose est sûre : la limite vaut \dfrac{1}{12}

Ton fil m'a fait immédiatement penser à un sujet similaire où j'avais beaucoup cherché pataugé : étude d'une fonction

Pour l'instant, attendons qu'un autre Ilien intervienne

Posté par
aya4545re : calcul d une limite 31-12-21 à 08:13

salut
f est dérivble en  \frac23
f'_n(\frac23)=\lim\limits_{x \rightarrow \frac23} \frac{f_n(x)-f_n(\frac23)}{x-\frac23} = n(\frac23)^{n-1}+12=

Posté par
aya4545re : calcul d une limite 31-12-21 à 08:51

\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} f_n(u_n)=\frac23
f'_n(\frac23)=\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} \frac{f_n(u_n)-f_n(\frac23)}{u_n-\frac23} =\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} \frac{-f_n(\frac23)}{u_n-\frac23}= \lim\limits_{n \rightarrow +\infty} \frac{(\frac23)^n}{L-u_n}

Posté par
aya4545re : calcul d une limite 31-12-21 à 09:04

salut
je m excuse ona \lim\limits_{x \rightarrow +\infty} u_n=\frac23
mais le probleme qui se pose   c est que f'_n(\frac23) est en fonction de n

Posté par
aya4545re : calcul d une limite 31-12-21 à 09:53

bonjour
\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} \frac{(\frac23)^n}{L-u_n} =limf'_n(\frac23) en +\infty=12 \\ d  ou le résultat
mais je sens l odeur d une erreur de fomulation

Posté par
carpediemre : calcul d une limite 31-12-21 à 10:37

salut

ouais il y a un pb de double limite :

la fonction f_n converge uniformément vers la fonction f  :  x \mapsto 9x^2 - 4 sur l'intervalle [0, 2/3]  (et même sur [0; 0,9] si on veut avoir2/3 "vraiment" à l'intérieur de l'intervalle !!)

avec L = 2/3 alors  v_n = L - u_n \to 0  quand n --> +oo

donc q = \dfrac {L^n} {v_n} = \dfrac {f_n(L) - f_n(u_n)} {v_n} est le taux de variation de la fonction f_n entre les réels L et u_n

donc quand n --> +oo non seulement u_n \to L mais aussi f_n \to f   donc q \to f'(2/3)

je pense qu'une démonstration rigoureuse nécessiterait de montrer aussi que f'_n converge uniformément vers f'

je ne vois pas comment faire simplement au niveau terminale

Posté par
lakere : calcul d une limite 31-12-21 à 10:41

Bonjour,

Citation :
\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} f_n(u_n)=\frac23


Ce n'est sans doute pas ce que tu as voulu écrire : f_n(u_n)=0  donc la limite est nulle.

Mais le problème n'est pas là :

Citation :
  f'_n(\frac23)\stackrel{=}_{{\red ?}}\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} \frac{f_n(u_n)-f_n(\frac23)}{u_n-\frac23} =\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} \frac{-f_n(\frac23)}{u_n-\frac23}= \lim\limits_{n \rightarrow +\infty} \frac{(\frac23)^n}{L-u_n}


J'ai mis un point d'interrogation devant le signe = qui me parait litigieux : dans la limite le terme f_n(u_n) comporte deux fois le même n

  On devrait écrire n :

f'_N\left(\dfrac{2}{3}\right)=\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{f_N(u_n)-f_N\left(\dfrac{2}{3}\right)}{u_n-\dfrac{2}{3}}

Ce qui fiche tout par terre car f_N(u_n)\not=0

Et je ne sais pas comment m'en sortir. Attendons...

Posté par
lakere : calcul d une limite 31-12-21 à 10:46

Bonjour carpediem,

Finalement je commence à penser que cette histoire de dérivée n'est pas la solution. Pourtant, j'en étais bien persuadé au départ

Posté par
carpediemre : calcul d une limite 31-12-21 à 11:22

salut lake

je pense qu'on peut garder le même n justement grâce à l'uniforme continuité des fonction f_n et f'_n ...

Posté par
carpediemre : calcul d une limite 31-12-21 à 11:24

car   f_N(L) - f_N(u_n) = f_N(L) - f_N(u_N) + f_N(u_N) - f_N(u_n)

Posté par
aya4545re : calcul d une limite 31-12-21 à 14:08

salut
merci pour ces idées ce sont des repas pour notre cervelle
les  notions de convergence uniforme , Taylor, regle de l Hopital
ne  sont pas abordables pour les classes de terminals , ce qui implique une restriction du bagage  pour aborder certains exercices
cordialement Aya


Rechercher
Menu
Espace membre
Changer d'île

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :

Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1694 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !