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Calcul de limite: (tan(3x/2))^tan(3x)

Posté par
Sheeppowa 26-07-13 à 10:18

Bonjour a tous, je suis nouveau sur le forum, je suis actuellement dans le passage de ma première année de prépa TSI à ma seconde année ( les concours arrivent vite ! ) et j'ai beaucoup d'exos a faire pendant les vacs, je voudrais vous en montrer un pour que vous puissiez me dire ce que vous en pensez. ( J'ai cherché évidemment par moi même avant ).
  
   Déterminer lim quand x tend vers PI/6 de la fonction f(x)= (tan(3x/2))^tan(3x)   ( le tan(3x) est bel et bien en exposant )

Pour se faire j'ai commencé par étudier la fonction f((PI/6)+h) quand h tend vers 0.  ( x=(PI/6)+h) )

Donc on obtient : (tan((PI/4)+(3h/2))^tan((PI/2)+3h)

Avec les formules tan=sin/cos et sin(a+b)=sin(a)cos(b)+sin(b)cos(a) et cos(a+b)=cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b)
J'obtient que mon tangente qui était en exposant vaut au final : -1/tan(3h)
Je fais pareil pour l'autre.

Qu'en pensez vous ? est-ce que je démarre bien ?
J'ai trouver une limite mais je ne suis pas sur ...

Posté par
Priamre : Calcul de limite: (tan(3x/2))^tan(3x) 26-07-13 à 10:37

Une idée : essayer de mettre f(x) sous la forme   [(1 + 1/t)t]n  avec  t  tendant vers 0.

Posté par
Priamre : Calcul de limite: (tan(3x/2))^tan(3x) 26-07-13 à 10:47

Correction :  t tendant vers  oo .

Posté par
delta-Bre : Calcul de limite: (tan(3x/2))^tan(3x) 26-07-13 à 16:02

Bonjour.

@Sheeppowa
1) Qu'as-tu t trouvé pour l'autre ?
2) Quelle est la limite que tu as trouvée?

Reamarque

Pour les indéterminations  de la forme \big{1^{+\infty}}  obtenues par passage à la limite de \big{f(x)^{g(x)}} quand x \rightarrow x_0 \left(\text{  donc }\lim_{x \to x_0} f(x) = 1  \text{ et }\lim_{x \to x_0} g(x )= +\infty\right),  on étudie la limite de leur logarithme, Si \big{\lim_{x \to x_0} g(x)\ln(f(x)) = \l}, alors \big{\lim_{x \to x_0} f(x))^{g(x)} = e^{\l}}.  Comme f(x)\rightarrow 1, on peut poser f(x)=1+h(x)  où h(x)= f(x)-1 \rightarrow 0   quand x \rightarrow x_0. Comme   \ln(1+u) \sim u  au voisinage de u=0, alors on peut écrire ln(f(x))=\ln(1+h(x))\sim h(x) et g(x)ln(f(x))\sim g(x)h(x)=g(x)(f(x)-1) et si on pourra écrire si  \lim_{x \to x_0} g(x)(f(x)-1)  existe, \big{\lim_{x \to x_0} f(x)^{g(x)} = }  e^{\lim_{x \to x_0}g(x)(f(x)-1)}}

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