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Calcul de Limites
Salut j'essaye de calculer une limite, j'ai bien trouvé un moyen qui donne la réponse correcte mais mon prof me dit que ce n'est pas 'permis' et je ne sais pas pourquoi.
(limite en +infini)
Moi je fais:
Puis j'élimine tan(V)/V car sa limite est 1 (V=1/x+1 dans la première fraction et V=1/x-1) dans seconde fraction)
j'obtiens alors:
C'est la passage de la ligne 2 à la ligne 3 qui frustre mon prof, bon c'est un passage un peu dangereux mais je ne vois pas pourquoi c'est faux.
ce que tu as fais est juste mais tu as sauter une étape , il fallait expliquer comment t'as passer a la ligne 2
Bonjour
Tu ne peux pas faire cette simplification partielle parce que cette expression n'a pas la même valeur dans les deux termes de la différence , et d'ailleurs la limite n'est pas 2.
On s'en sort assez vite si l'on connaît la formule de trigo : dans laquelle le dénominateur est ici sans problème lors du passage à la limite.
salut
1/ x tend vers quoi ?
2/ quand est-ce que tan(u)/u --> 1 ?
l'ensemble est très imprécis donc faux si on n'est pas conscient du lieu où on cherche la limite ....
bonsoir,
reconstruis tes calculs "à l'envers"
donne la limite de tan(1/(x-1))/(1/(x-1) puis multiplie la par 1/(2/(x+1)) tu auras ta première limite
refais la même chose pour ta deuxième limite
et calcule ta différence pour avoir ta limite cherchée
GGen:
x tend vers + l'infini et tan(u)/(u) tend vers 1 lorsque, u tend vers 0 (x tend vers + l'infini)
La différence est une forme indéterminée.
Je pense que Pierre_D a mis le doigt sur qqchose "Tu ne peux pas faire cette simplification partielle parce que cette expression n'a pas la même valeur dans les deux termes de la différence", je ne vois pas pourquoi.
Ne peut on pas considérer 1/(2/x+1) comme une approximation affine en +inf de l'expression comportant la tangente. Et de même pour 1/(2/x-1) même si l'expression dans la tangente n'est pas la même.
mais pour la lim(+oo) ca va donner une forme indéfinie (+oo-oo) puisque :
lim(+oo) (x+1)/2 = +oo
et
lim(+oo) (x-1)/2 = +oo
On s'en sort assez vite si l'on connaît la formule de trigo :
Bah pour moi ta méthode est juste. Une fonction ou plusieurs fonctions qui tendent vers l,l',l"..
0 (donc pas infini) peuvent être substituées par leurs limites. ça n'affecte en rien la limite finale.
Par contre, ça devient faux si la réinjection de ta limite dans l'expression "cause" une indétermination et que tu veuilles substituer ta fonction par une fonction qui a la même limite.
Prenons un exemple concret :
La limite quand x
0 de (1-cosx)/x².
Je factorise par 1/x. J'obtiens (1/x)((1-cosx)/x)
Là, je peux calculer la limite de (1-cosx)/x en utilisant la dérivée, j'obtiens sin(0)=0.
ça ne sert à rien, vu que je me retrouve avec une indétermination. Mais là, j'ai envie de remplacer (1-cosx)/x par sinx. ça semble logique vu que lim x0 (1-cosx)/x=lim x0 sinx
Ma nouvelle limite est donc lim sinx/x=1.
Or, lim (1-cosx)/x²=1/2.
L'erreur tient dans le fait que la limite est conservée, mais pas "la route rempruntée"
D'ailleurs, lim x0 de (1-cosx)/(x.sinx)=1/2
Donc si je comprends bien, j'ai le droit de passer à la limite mais ce n'est pas une généralité, ici ça marche, mais ce n'est pas toujours vrai. C'est ça?
Non, dans une somme ou une différence, tu n'as pas le droit de mettre en facteur quelquechose qui n'est pas un facteur commun. Point.
Bonjour à tous,
Voici un exemple un peu biscornu pour tenter de faire comprendre à mbm95 pourquoi faire des limites "par morceau", même si ce n'est pas 0 , peut donner un résultat faux :
f(x) = x2 ((1 - 1/x) + (1/x2 - 1) en +
.
Si on remplace 1 - 1/x par sa limite 1 , cela donne x2 (1 + 1/x2 - 1) = x2(1/x2) = 1 .
Alors que f(x) = -x + 1 et que la limite est - .
J'ai oublié une parenthèse : f(x) = x2 ((1 - 1/x) + (1/x2 - 1))
Bon, remplacer 1 - 1/x par 1 , ce n'est pas très différent de remplacer 1/x par 0 
Pour que ce soit moins flagrant, on peut écrire f(x) = puis remplacer
par 1
L'erreur dans ce qu'a fait Sylvieg tient dans le fait qu'il a substitué 1/x²-1/x par 1/x². L'une des deux grandeurs est infiniment plus grande que l'autre.
C'est aussi gros que de remplacer x² par x. 
Le sujet intéressant. Mon prof me dit aussi de pas calculer les limites par morceaux, mais je trouve ça dommage de s'en priver sans comprendre le fond du problème. J'aimerais être convaincu car je reste persuadé que si l'on sait ce qu'on fait, on ne se trompera pas.
Mbm, voici un contre-exemple :
Ta méthode conduit à : , puisque
quand
, soit finalement
.
Or en réalité ...
édit Océane : LaTeX
Trop. Si t'as des explications je suis preneurs.
Comment est-ce que la multiplication de 2 infinis par un 1 a pu les modifier de cette façon ? 
!!! et ce reste n'est pas négligeable Merci pierre D pour ton contre-exemple, mais est-ce vraiment le même cas? ici on a remplacé une fonction par une autre qui tend vers 1 certes mais pas vers le 'même' 1 que la première. Par contre si je remplace lim tan(1/(x-1))/(1/(x-1)) en +inf par lim tan(1/(x+1))/(1/(x+1)) (ce que je fais en gros dans ce topic) y a pas de risque que je me trompe puisqu'il s'agit d''exactement' la même limite (même valeur ET même chemin). C'est quand même pas permis?
ce qui montre de façon évidente qu'un équivalent à l'ordre 0 n'est pas suffisant ...
alors quà l'ordre 1 ça devrait suffire ::
tan(x)/x = 1 + x2/3 + o(x3)
à vous de vérifier ...
mbm95, l'exemple de PierreD là exclu formellement de remplacer une fonction par sa limite lorsqu'on se retrouve face à une différence d'infinis.
Moi ce que je comprends en lisant le contre-exemple de Pierre-D c'est qu'au voisinage de l'infini:
sin(1/x-1)/(1/(x-1)) et (e^(1/x-1)-1)/(1/(x-1)) ne se 'comportent' pas de la même manière d'où l'erreur.
Par contre tan(1/(x-1))/(1/(x-1)) et tan(1/(x+1))/(1/(x+1)) se comportent elles de la même manière (c'est quand même la même fonction), je ne vois pas pourquoi alors on ne pourrait pas passer à la limite.
Désolé si je m'entête c'est juste que j'arrive pas à voir pourquoi on 'ne peut pas'.
Ouais voilà.
Mais du coup là j'ai un doute sur une méthode que j'utilise pour calculer vite fait les différence de fonctions sous forme 
(ax²+bx+c)-(ax²+b'x+c') quand x.
(Désolé de squatter le sujet )
En fait, j'me contentais d'écrire les formes canoniques et de négliger les 
/4a², puis d'extraire les racines carrés. Les x s'annulent et il me reste -b/2a-b'/2a.
Je n'ai jamais eu de résultat faux avec cette méthode (je vérifiais toujours en utilisant le conjugué) mais là avec l'exemple de PierreD j'ai un doute sur le "fondement" intuitif de la méthode.
Justement mbm95, ce qui est horrible, c'est que le rapport de sin(1/x-1)/(1/(x-1)) et de (e^(1/x-1)-1)/(1/(x-1)) en l'infini est égal à 1.
Il y'a donc aucune raison que tan(1/(x-1))/(1/(x-1)) et tan(1/(x+1))/(1/(x+1)) soient "plus proches" que sin(1/x-1)/(1/(x-1)) et (e^(1/x-1)-1)/(1/(x-1)).
Par contre tan(1/(x-1))/(1/(x-1)) et tan(1/(x+1))/(1/(x+1)) se comportent elles de la même manière (c'est quand même la même fonction), je ne vois pas pourquoi alors on ne pourrait pas passer à la limite.
non il suffit de le vérifier avec ce que je vous ai proposé !!!
Si vu que c'est la même fonction, la première expression (avec x+1) ne peut se comporter que comme celle avec x-1, donc le sigma accroché au 1 on peut le négliger dans ce cas puisque c'est le même.
non à cause du reste !!!!
tan(x)/ x = 1 + x2/3 + o(x4)
essaie avec x = 1/(x + 1) puis x = 1/(x - 1)
et n'oublie pas de multiplie par les autres facteurs ....
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