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calcul de primitives

Posté par Apprenti (invité) 06-11-04 à 21:58

salut , je dois calculer la primitive de 1/(2x+3) qui s'annule pour x = 2 , donc j'ai fait ça :

ln(2x+3)
2x+3 = 2
x = -1/2 donc F = -1/2

et je dois calculer la primitive de dx/(x+1) compris entre 4 et 2 , alors j'ai fait ça :

ln(x+1) , et ensuite j'ai une idée du genre F(4) - F(2) mais je ne sais pas trop la mettre en oeuvre ici..

et dites en faite quand on calcule une primitive on calcule une aire sous la fonction je me trompe? et en fait les logarithme népérien sont les aires en dessous des fonctions de type 1/x , on les utilise pas pour d'autres fonctions ou pour simplifier des équations??
merci

Posté par
Nightmarere : calcul de primitives 06-11-04 à 22:39

Bonjour

Je me permet d'apporter une petite correction

Déja , une primitive de \frac{1}{2x+3} est \frac{1}{2}ln(2x+3)

Explication :
On sait que \int \frac{u'(x)}{u(x)}dx=ln(u(x))

Or , \frac{d}{dx}(2x+3)=2
Donc si l'on pose : u(x)=2x+3
Donc notre expression devient :
\frac{1}{2}\frac{u'(x)}{u(x)} ( pas besoin de rappeler que \frac{1}{2}\times2=1 .
On peut donc en déduire toutes les primitives :
f(x)=\frac{1}{2}ln(u(x))+C c'est a dire :
f(x)=\frac{1}{2}ln(2x+3)+C ( C décrivant R)

Maintenant , on veut déterminer C tel que notre primitive s'annule en 2 . c'est a dire tel que f(2)=0

f(2)=\frac{1}{2}ln(7)+C
On doit donc trouver C tel que :
\frac{1}{2}ln(7)+C=0 <=> C=-\frac{1}{2}ln(7)

On en déduit :
f(x)=\frac{1}{2}ln(2x+3)-\frac{1}{2}ln(7)

Ensuite on veut calculer :
I=\int_{2}^{4} \frac{dx}{x+1}

on sait qu'une primitive de \frac{1}{x+1} est ln(x+1) notre intégrale devient donc alors :
I=[ln(x+1)]_{2}^{4}
donc :
I=ln(4+1)-ln(2+1)=ln(5)-ln(3)=ln(\frac{5}{3})

Posté par Apprenti (invité)re : calcul de primitives 07-11-04 à 00:25

euh j'ai rien compris , je t'explique comment jvois le truc dans ma tete :

la primitive de 1/x c'est ln(x) , donc en toute logique la primitive de 1/(2x+3) c'est ln(2x+3) , mais la on cherche la primitive qui s'annule pour x=2 , qu'est ce que ça veut dire concrètement et comment exprimer le problème dans ma tete sans écriture compliquée...

Posté par
Nightmarere : calcul de primitives 07-11-04 à 00:38

Bonjour

Ce n'est pas vraiment comme cela que ça marche

Tout dabord , on ne dit pas la primitive mais UNE primitive ou LES primitives d'une fonction

Une primitive de \frac{1}{x} est ln(x) , mais la formule générale est :

Une primitive de \frac{u'(x)}{u(x)} est ln(u(x))

Pour montrer cela il suffit d'utiliser la propriété de dérivation du logarithme :
(ln(u(x))'=\frac{u'(x)}{u(x)}

Dailleur si on dérive ta fonction x\to ln(2x+3) on trouve bien \frac{2}{2x+3} et non \frac{1}{2x+3} ( la dérivée de x\to2x+3 étant x\to2)

Maintenant dérivons celles que j'ai trouvé :
f(x)=\frac{1}{2}ln(2x+3)+C
donc :
f'(x)=\frac{1}{2}\times\frac{2}{2x+3}=\frac{1}{2x+3} qui est bien l'expression de départ .

Bon , maintenant notons F notre primitive ( c'est mieux pour te visualiser le probléme)
On a :
F(x)=\frac{1}{2}ln(2x+3)+C ( C étant une constante réelle )

On te demande de trouver celle qui s'annule en 2 , c'est a dire de déterminer C tel que F(2)=0
En remplacant ds l'expression :
F(2)=\frac{1}{2}ln(2\times2+3)+C=\frac{1}{2}ln(7)+C

On veut :
F(2)=0 c'est a dire :
\frac{1}{2}ln(7)+C=0 donc :
C=-\frac{1}{2}ln(7)

En rempacant C dans l'expression de F :
F(x)=\frac{1}{2}ln(2x+3)-\frac{1}{2}ln(7)+C=\frac{1}{2}(ln(2x+3)-ln(7))

On peut encore réduire cette expression en utilisant la propriété :
ln(x)-ln(y)=ln(\frac{x}{y})
donc :
F(x)=\frac{1}{2}ln(\frac{2x+3}{7})

Est-ce compris ?

Posté par Apprenti (invité)re : calcul de primitives 07-11-04 à 01:11

non en fait je préfère que tu m'expliques en oubliant ce 1/2 et juste en nous concentrant sur le modèle u et v stp

Posté par david1 (invité)re 07-11-04 à 09:06

Je vais essayer de t'expliquer à ma manière.
1ère étape : calculer une primitive de (1/2x+3).
Tu procèdes par changement de variable.
Posons u = 2x+3 ; du= 2 dx.
Pas besoin de calculer les nouvelles bornes de l'intégrale car elle n'est pas définie sur un intervalle.
Donc,  integrale de 1/(2x+3) = 1/2* integrale de (1/u) du + c (scalaire)=1/2 ln(2x+3) + c.

On a F(2)=0 d'où c=-(1/2)ln7.

Donc F(x)=1/2 ln(2x+3) - 1/2 ln(7).
Voilà pour ta 1 ère question.

Posté par Apprenti (invité)re : calcul de primitives 07-11-04 à 11:37

du= 2 dx. , ça je ne comprends pas du tout .

Posté par Apprenti (invité)re : calcul de primitives 07-11-04 à 11:48

en fait là , à la base on a une expression du genre 1/U et dans le tableau ya pas de formule pour calculer la primitive de 1/U , alors que faire , franchement je nage...

Posté par
Océane Webmasterre : calcul de primitives 07-11-04 à 12:01

Si il faut utiliser la formule suivante :
(ln u)' = u'/u comme te l'a dit Nightmare ...

Posté par Apprenti (invité)re : calcul de primitives 07-11-04 à 12:07

non mais à la base on a 1/(2x+3) , ça correspond pas du tout à une expression u'/u...moi je constate que j'ai 1/U , j'abandonne .

Posté par
Océane Webmasterre : calcul de primitives 07-11-04 à 12:13

Oui mais il suffit d'ajuster la constante !

Si tu écris :
1/(2x + 3) = 1/2 × 2/(2x + 3)
tu obtiens bien quelque chose de la forme u'/u ...

Posté par Apprenti (invité)re : calcul de primitives 07-11-04 à 12:23

d'accord , donc faut me dire avt tout de transformer l'écriture de départ ! je reprends :

calculer la primitive de 1/(2x+3) qui s'annule pour x = 2

1. je réecris l'expression pour avoir la forme U'/U , ça me donne :

1/2 * 2/(2x+3) , j'ai bien 1/2 * U'/U

2. je sais que la primitive de u'/u c'est lnU + C

donc moi j'en déduis que on a ln(2x+3) comme j'avais bien écrit au début , je vois pas ce que ln(2x+3)/2 vient *** la dedans!

Posté par Apprenti (invité)re : calcul de primitives 07-11-04 à 12:25

non c'est bon on a 1/2 * lnU , erreur stupide d'inattention , sous le coup de la colère j'avais oublié le 1/2 du départ lol , donc en fait chers amis ici le principe est juste de changer l'écriture pour trouver une formule dans le tableau =) , c'est ça?

Posté par
Océane Webmasterre : calcul de primitives 07-11-04 à 12:27

Pas la peine de t'énerver pour une primitive
Oui il faut 'jouer' avec les constantes comme on l'a fait ici en écrivant 1/2 × 2/(2x + 3) pour se ramener à une formule du tableau

Bon courage pour la suite

Posté par Apprenti (invité)re : calcul de primitives 07-11-04 à 13:12

euh et juste en passant la primitive d'un nombre c'est quoi , mettons si je dois calculer la primitive de 2x² + 5x + 4 , comment calculer celle de 4 ?

Posté par
Nightmarere : calcul de primitives 07-11-04 à 13:17

Bonjour

Tu sais que la dérivée de x\to kx avec k un réel est x\to k . Donc les primitives de x\to k sont les fonctions x\to kx+C_{\mathbb{R}}

En l'occurence , les primitives de x\to 4 sont x\to 4x+C_{\mathbb{R}}

Posté par Apprenti (invité)re : calcul de primitives 07-11-04 à 13:22

ça m'aide pas bcp , je préfère une explication à partir d'un exemple si possible...
merci

Posté par
Nightmarere : calcul de primitives 07-11-04 à 13:24

Je crois que tu ferais mieux de te replonger dans tes cours car là c'est vraiment catastrophique ... De plus , je t'ai donné un exemple , celui de x\to 4 merci de lire les réponses que l'on te donne complétement


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