Bonjour Georges

Alors déjà pour tes primitives :

1) f(x) = sin x cos x
F(x) = 1/2 sin² x


2) f(x) = tan² x
F(x) = tan x - x

3) f(x)=sin² x
= 1 - cos² x
=1 - 1/2 (cos(2x) + 1)
= 1/2 - 1/2 cos(2x)
Donc :
F(x) = 1/2 x - 1/4 sin(2x)


4) f(x) = cos³ x
= (1-sin² x) cosx
= cos x - cos x sin² x
Donc :
F(x) = sin x -1/3 sin³ x


Voilà, à toi de vérifier que ces primitives conviennent. Bon courage
...

En ce qui concerne ta deuxième question :

f(x) = xx
f est le produit de fonctions dérivable sur ]0; +[,
elle est donc dérivable sur ]0; +[.

Etudions la dérivabilité en 0 :
pour cela, il faut étudier la limite de
(f(x) - f(0))/x

(à toi de la calculer. Cette limite est finie (égale à 0, sauf erreur
de ma part), fonc f est dérivable en 0).

Et :
f'(x) = x + x/(2x)
= 3x/(2x)
= 3/2 x


Une primitive de la fonction x sur [0, +[
est donc :
2/3 xx


Voilà, bon courage ...

Avec S pour le signe intégrale.

S sinx.cosx.dx

Poser sinx = t -> cosx.dx = dt
S sinx.cosx.dx = S t.dt = (1/2)t² + C
S sinx.cosx.dx = (1/2).sin²(t) + C

Autre manière:
S sinx.cosx.dx = (1/2) S sin(2x).dx = (1/4).(-cos(2x)) + C
S sinx.cosx.dx = -(1/4).cos(2x) + C

Les 2 réponses sont correctes.
--------------------------------
S tg²(x) dx = S (sin²(x)/cos²(x)).dx

poser tg(x) = t
dx/cos²(x) = dt
1+tg²(x) = 1/cos²(x) = 1 + t²
cos²(x) = 1/(1+t²)
sin²(x) = 1 - (1/(1+t²))
sin²(t) = t²/(1+t²)

S tg²(x) dx = S (t²/(1+t²))dt =  S ((1+t²-1)/(1+t²))dt = S dt - S(1/(1+t²)).dt
= t - arctg(t) + C
= tg(x) - x + C
---------------------------------
S sin²(x).dx = (1/2).S (1-cos(2x).dx = (1/2) .(x - (1/2).sin(2x)) +
C
S sin²(x).dx = (1/2)x - (1/4).sin(2x) + C
---------------------------------
S cos³(x).dx = S (1-sin²(x)).cos(x) .dx
Poser sin(x) = t
cos(x).dx = dt
S cos³(x).dx = S (1-t²).dt = t - (t³/3) + C
S cos³(x).dx = sin(x) - (sin³(x))/3 + C
----------------------------------
----------------------------------

f(x) = x.V(x)
Df = R+

(f(x+h) - f(x))/h = [(x+h)V(x+h) - x.V(x)]/h
(f(x+h) - f(x))/h = [(x+h)V(x+h) - x.V(x)][(x+h)V(x+h) + x.V(x)]/[h.((x+h)V(x+h)
+ x.V(x))]
(f(x+h) - f(x))/h = [(x+h)³ - x³]/[h.((x+h)V(x+h) + x.V(x))]
(f(x+h) - f(x))/h = [x³+3x²h+3xh²+h³- x³]/[h.((x+h)V(x+h) + x.V(x))]
(f(x+h) - f(x))/h = [3x²h+3xh²+h³]/[h.((x+h)V(x+h) + x.V(x))]
(f(x+h) - f(x))/h = [3x²+3xh+h²]/[(x+h)V(x+h) + x.V(x)]

lim(h->0) [(f(x+h) - f(x))/h ] = 3x²/2xV(x) = (3/2).V(x)

Cette limite existe dans Df = R+ -> f(x) est dérivable sur R+.
La dérivée est f '(x) = (3/2).V(x)
----------------------------------
Sauf distraction.

Zut, dans le premier, lire:

S sinx.cosx.dx = (1/2).sin²(x) + C