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Calcul de somme

Posté par
Filbert13 26-11-21 à 05:40

Salut! J?espère que tout le monde va bien! J?ai un souci pour le calcul de la somme suivante:
k(k-1)(combinaison de n dans k)^2 où k va de 2 à n.
Je compte sur vous pour m?aider à résoudre mon problème et merci beaucoup d?avance.

* modération > le niveau a été modifié  en fonction du profil renseigné *

Posté par
Filbert13Calcul Algébrique 26-11-21 à 12:56

Salut! J'espère que tout le monde va bien. J'ai un souci avec la résolution de cette somme:
\sum_{k=2}^{n}k(k-1)(nCk){^{2}}
J'espère que vous pourriez m'aider et merci d'avance.

*** message déplacé ***

Posté par
lakere : Calcul de somme 26-11-21 à 12:59

Bonjour,

Pour l'instant une conjecture :

S_n=(n-1)^2\binom{2n-2}{n-1}

  ... qu'il ne doit pas être difficile de prouver.

Posté par
lakere : Calcul de somme 26-11-21 à 13:03

Pour l'instant encore, un conseil :

on peut utiliser k\binom{n}{k}=n\binom{n-1}{k-1}

Posté par
larrechre : Calcul Algébrique 26-11-21 à 13:06

Bonjour,

Inutile- et même interdit- d'ouvrir un deuxième fil sur un même sujet.

*** message déplacé ***

Posté par
malou Webmasterre : Calcul de somme 26-11-21 à 13:23

Bonjour à tous,

un petit rappel pour Filbert13

attentionextrait de c_faq la FAQ du forum :

Q03 - Pourquoi ne faut-il pas faire du ''multi-post'' ?


Posté par
lakere : Calcul de somme 26-11-21 à 16:34

Une liste des outils que j'ai utilisé pour la démonstration de l'égalité :

  \sum_{k=2}^nk(k-1)\binom{n}{k}^2=(n-1)^2\binom{(2n-2}{n-1}

1) k\binom{n}{k}=n\binom{n-1}{k-1}

2) \binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}

3) \sum_{k=0}^r \binom{n}{k}\binom{m}{r-k}=\binom{n+m}{r}  (Identité de Vandermonde ici : ).

  Évidemment, "ma" méthode n'est certainement pas la seule ...

Posté par
larrechre : Calcul de somme 26-11-21 à 18:58

Bonsoir,

Une autre façon.

Soit f(x)=(1+x)^n=\sum_{k=0}^n x^k \binom{n}{k}=\blue{\sum_{k=0}^n x^{n-k} \binom{n}{n-k}}  (1)

f''(x)= \sum_{k=2}^{n} k (k-1) x^{k-2}\binom{n}{k}  (2)

et par ailleurs   f(x)f''(x)=n(n-1)(1+x)^{n-2} (3)

On identifie les coefficients des termes en x^{n-2} dans la forme (3) et dans le produit (2)\times(1)version bleue.

On trouve S_n= n(n-1)\binom{2n-2}{n-2} ce qui ne doit pas être loin d'être la même chose.

Sauf erreur

Posté par
lakere : Calcul de somme 26-11-21 à 19:08

Bonsoir larrech,

Ton résultat est le même que le mien ; il peut s'écrire (comme le mien)  \dfrac{(2n-2)!}{[(n-2)!]^2}.

Ta méthode est meilleure que la mienne dans la mesure où elle ne fait pas appel à un résultat "élaboré" (l'identité de Vandermonde).

Posté par
Ulmierere : Calcul de somme 26-11-21 à 19:09

Ou plus simple, quelles sont l'espérance et la variance de la loi Binomiale de paramètres n et 1/2 ?
Le fait de prendre 1/2 permet de s'en sortir parce que p^k(1-p)^{n-k} = 2^{-n} ne dépend pas de k

Posté par
Ulmierere : Calcul de somme 26-11-21 à 19:09

Ah non il y a un carré que je n'avais pas vu, j'ai rien dit

Posté par
larrechre : Calcul de somme 26-11-21 à 19:22

Bonsoir lake

Meilleure, dans le sens où elle est plus élémentaire, peut-être. Il faut dire que le k(k-1) fait immédiatement penser à la dérivée seconde de la fonction puissance.

Posté par
lakere : Calcul de somme 26-11-21 à 19:26

Si Filbert repasse par ici, je laisserai les échanges se poursuivre avec toi et ta méthode plus élémentaire.
Une fois ces échanges terminés, je me permettrai de poster la mienne.

Posté par
pfffre : Calcul de somme 27-11-21 à 20:43

larrech @ 26-11-2021 à 18:58

Bonsoir,

Une autre façon.

Soit f(x)=(1+x)^n=\sum_{k=0}^n x^k \binom{n}{k}=\blue{\sum_{k=0}^n x^{n-k} \binom{n}{n-k}}  (1)

f''(x)= \sum_{k=2}^{n} k (k-1) x^{k-2}\binom{n}{k}  (2)

et par ailleurs   f(x)f''(x)=n(n-1)(1+x)^{n-2} (3)

On identifie les coefficients des termes en x^{n-2} dans la forme (3) et dans le produit (2)\times(1)version bleue.

On trouve S_n= n(n-1)\binom{2n-2}{n-2} ce qui ne doit pas être loin d'être la même chose.

Sauf erreur


Bonsoir, je n'ai pas compris à partir '' par ailleurs '' normalement c'est exposant 2n-2

Posté par
larrechre : Calcul de somme 27-11-21 à 21:03

Bonsoir,

Tu as raison C'est une faute de frappe. Je rectifie

Citation :
et par ailleurs  f(x)f''(x)=n(n-1)(1+x)^{2n-2} (3)


Merci de l'avoir signalé

Posté par
Filbert13re : Calcul de somme 27-11-21 à 22:40

Bonsoir tout le monde! Je tiens à vous remercier de m'avoir aidé à résoudre mon problème.
Bonne soirée!

Posté par
Filbert13re : Calcul de somme 27-11-21 à 22:49

Bonsoir Larrech! Ton aide m'a été précieuse à la compréhension du problème et je t'en remercie.
Ce pendant j'ai du mal à capter la suit où »on doit identifier les termes de {x^{n-2}}{}

Posté par
larrechre : Calcul de somme 27-11-21 à 23:27

Tu es bien d'accord que

n(n-1)(1+x)^{2n-2}=\left(\sum_{k=2}^{n} k (k-1) x^{k-2}\binom{n}{k}\right)\blue{\left(\sum_{k=0}^n x^{n-k} \binom{n}{n-k}}\right)

A gauche du signe égale, le coefficient du terme en x^{n-2} est

n(n-1)\binom{2n-2}{n-2}  ( cf formule du binôme)

A droite, le terme en x^{n-2} s'écrit

\sum_{k=2}^{n} k (k-1) x^{k-2}\binom{n}{k}x^{n-k} \binom{n}{n-k}= x^{n-2}\sum_{k=2}^{n} k (k-1) \binom{n}{k}^2

car   \binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}

D'où la valeur de la somme donnée.

Posté par
Filbert13re : Calcul de somme 28-11-21 à 00:07

Ah ok je comprends beaucoup mieux maintenant!
Cependant est-ce que (\sum{a})(\sum{b)}=\sum{ab}?
C'est bien ça que tu as utilisé pour trouver le second produit de f et sa dérivée 2ieme non?

Posté par
larrechre : Calcul de somme 28-11-21 à 08:29

Tu as raison, il faut être plus précis dans la présentation et celle qui précède est trompeuse. Je reprends brièvement.

n(n-1)(1+x)^{2n-2}=\left(\sum_{k'=2}^{n} k' (k'-1) x^{k'-2}\binom{n}{k'}\right)\blue{\left(\sum_{k=0}^n x^{n-k} \binom{n}{n-k}}\right)

Lorsqu'on effectue les produits terme à terme , k' et k n'ont aucune raison de prendre la même valeur et l'on doit faire la somme des

k' (k'-1)\binom{n}{k'}\binom{n}{n-k} x^{n-k+k'-2}

où k' prend toutes les valeurs de 2 à n et k les valeurs de 0 à n.

Le terme en x^{n-2} est obtenu dans les cas particuliers où k=k', de 2 à n.

Posté par
Filbert13re : Calcul de somme 28-11-21 à 20:02

Merci beaucoup Larrech!
Le résultat est plus explicite

Posté par
lakere : Calcul de somme 29-11-21 à 10:38

Bonjour à tous,

Larrech est sans conteste le bon. Sa méthode élégante emporte le morceau.
Ulmiere aurait pu jouer le rôle du truand. Il a malheureusement trébuché sur une tombe de Sad Hills. Aux dernières nouvelles, il creuse encore ...
Reste la méthode de la brute (de loin le moins sympathique des trois) calculatoire et pesante :

  Rappel des outils utilisés :

k\binom{n}{k}=n\binom{n-1}{k-1}  (1)

\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}  (2)

\sum_{k=0}^r\binom{n}{k}\binom{m}{r-k}=\binom{n+m}{r}  (3) (Vandermonde).
-----------------------------------------------------

S_n=\sum_{k=2}^nk(k-1)\binom{n}{k}^2=\sum_{k=2}^n\left[k\binom{n}{k}\right]^2-\sum_{k=2}^nk\binom{n}{k}^2

S_n=n^2\sum_{k=2}^n\binom{n,-1}{k-1}^2-n\sum_{k=2}^n\binom{n-1}{k-1}\binom{n}{k} avec (1)

S_n=n^2\sum_{k=2}^n\binom{n-1}{k-1}\binom{n-1}{n-k}-n\sum_{k=2}^n\binom{n-1}{k-1}\binom{n}{n-k} avec (2)

S_n=n^2\sum_{k=1}^{n-1}\binom{n-1}{k}\binom{n-1}{n-1-k}-n\sum_{k=1}^{n-1}\binom{n-1}{k}\binom{n}{n-1-k}  avec un changement d'indice dans les deux sommes.

S_n=n^2\left[\binom{2n-2}{n-1}-1\right]-n\left[\binom{2n-1}{n-1}-n\right]  avec (3)

S_n=n^2\binom{2n-2}{n-1}-n\binom{2n-1}{n}  avec (2)

S_n=n^2\binom{2n-2}{n-1}-(2n-1)\binom{2n-2}{n-1}  avec (1)

S_n=(n-1)^2\binom{2n-2}{n-1}=\dfrac{(2n-2)!}{\left[(n-2)!\right]^2}


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