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Calcul de volume

Posté par Yannickbas (invité) 29-03-05 à 20:04

Bonjour,

Pourriez vous m'aider à résoudre cet exercice svp ?
Voici l'énoncé :

Déterminer le volume du solide obtenu par révolution autour de l'axe [Oy) du domaine limité sur l'intervalle [-1 ; 0] par l'arc de cercle de centre O et de rayon 1, sur l'intervalle [0 ; π/2] par la courbe d'équation y = cos(x).
Donner une valeur approchée à 10^-2 près de ce volume en cm^3 si l'unité graphique est de 2 cm.

Posté par
J-P Posteur d'énigmes
re : Calcul de volume 30-03-05 à 12:14

Je ne suis pas sûr d'avoir compris l'énoncé, donc méfiance sur ce qui suit.

a) En se limitant dans les y >= 0
Le volume engendré par la rotation autour de [oy) de la courbe du demi cercle est entièrement englobé dans le volume engendré par la rotation autour de [oy) de la courbe du cos(x).
Il faut pour le montrer (je ne l'ai pas fait) démontrer que cos(x) > \sqrt{1-x^2} sur [-1 ; 0] (ou bien sur [0 ; 1]).

Donc on aurait  V = \pi. \int_0^1\ (arccos(y))^2\ dy

Si 1 unité de longueur = 2cm
On aurait alors  V = 2^3 \pi. \int_0^1\ (arccos(y))^2\ dy \ cm^3
On aurait alors  V = 8\pi. \int_0^1\ (arccos(y))^2\ dy \ cm^3

b) si on doit aussi prendre en considération les y < 0.

Pour y < 0: Le volume engendré l'est uniquement par le demi cercle sous l'axe des abscisses.
Le volume est une demi sphère de rayon = 1

V' = (2/3).Pi.1³ = (2/3).Pi
Si 1 unité de longueur = 2cm
On aurait alors V' = \frac{2\pi}{3}.2^3 = \frac{16\Pi}{3}\ cm^3

c)
Le volume total serait donc = V + V'

Vol = 8\pi. \int_0^1\ (arccos(y))^2\ dy + \frac{16\Pi}{3}\ cm^3
-----
Comme je ne suis pas sûr que c'est ce qui était attendu, je ne vais pas plus loin.
  




Calcul de volume

Posté par Yannickbas (invité)re : Calcul de volume 30-03-05 à 20:35

La courbe qui est avec l'exercice est composée du quart de cercle pour y positif et x négatif et de la courbe cosinus de x = 0 à x = 1.5.
Merci pour votre aide mais comment l'utilisé avec la courbe précédente?

Posté par
J-P Posteur d'énigmes
re : Calcul de volume 31-03-05 à 08:33

Si j'ai bien compris, il n'y a rien du coté des y négatifs.

On ne regarde alors que la moitié supérieure de mon dessin ou si tu veux, le dessin joint à ce message.

Si on fait tourner la courbe représentant le cos(x) sur [0 ; Pi/2] autour de l'axe des y, on voit bien comme je l'ai dit avant que le volume que cela engendre englobe entièrement le volume engendré par la rotation du 1/4 de cercle autour de l'axe des y.

Donc le volume total est celui engendré par la courbe de cos(x) sur [0;Pi/2] qui tourne autour de l'axe des y. On peut "oublier" le quart de cercle.

On a alors y = cos(x) (x = 0 -> y = 1 et x = Pi/2 -> y = 0)

 V = Pi.\int_0^1\ x^2\ dy

avec x = arccos(y)

 V = Pi.\int_0^1\ (arccos(y))^2\ dy

Ma calculette donne V = 3,5864... unité de volume.

Si 1 unité de longueur = 2 cm, on a alors:

V = 2³*3,5864... = 28,69... cm³
----
Il reste à retrouver ce résultat en résolvant l'intégrale.


Je reste un peu sceptique sur cet exercice.
Es-tu bien sûr que ce n'est pas plutôt autour de l'axe des x qu'il faut faire tourner ?
Ce serait alors sans problème.




Calcul de volume

Posté par Yannickbas (invité)re : Calcul de volume 02-04-05 à 07:59

oui c autour de l'axe Ox c'est vrai que sa change tout!désolé

Posté par
J-P Posteur d'énigmes
re : Calcul de volume 02-04-05 à 10:55

C'est plus facile.

Le quart de cercle engendre une demi sphère ->
V1 = (2/3).Pi.1³ = (2/3).Pi.

Soit V2 le volume engendré par la courbe y = cos(x) de 0 à Pi/2

V2 = \pi.\int_0^{\frac{\pi}{2}} y^2\ dx
V2 = \pi.\int_0^{\frac{\pi}{2}} cos^2(x)\ dx = \frac{\pi}{2}\int_0^{\frac{\pi}{2}} (1+cos(2x))\ dx
V2 = \frac{\pi}{2} [x + \frac{sin(2x)}{2}]_0^{\frac{\pi}{2}} = \frac{\pi^2}{4}

V = V1 + V2 = \frac{2}{3}.\pi + \frac{\pi^2}{4}
---
Avec l'unité graphique de 2 cm, on a

 Volume = 2^3.V\ cm^3
 Volume = 8[\frac{2}{3}.\pi + \frac{\pi^2}{4}]\ cm^3
 Volume = \frac{16}{3}.\pi + 2.\pi^2\ cm^3 \simeq 36,49\ cm^3
-----
Sauf distraction.   Vérifie mes calculs.  


  



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