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Calcul dérivée partielle

Posté par
Skapgoat 10-12-16 à 14:52

Bonjour,

Pourriez-vous s'il vous plaît m'aidez à trouver la réponse au calcul suivant:

On a f(x,y)=(x+y)\: ln({x}^2-y^2) et il me faut calculer \frac{\partial f}{\partial x}(x,y)-\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)

Pour l'instant à part à arriver à un truc du genre je ne vois pas et suis perdu:
x\ln (x+y)+y\ln(x+y)+x\ln (x+y)+y\ln(x+y)

Merci d'avance pour votre aide !

Posté par
Pirhore : Calcul dérivée partielle 10-12-16 à 15:04

Bonjour,

ta dérivée est fausse. Tu dois dériver un produit de facteurs.

Quand tu dérives par rapport à x, par exemple, tu considères que y=constante

Posté par
Skapgoatre : Calcul dérivée partielle 10-12-16 à 15:12

Bonjour Pirho,

Merci pour ton retour.

En reprenant je trouve \ln(x^2 - y^2) + \frac{2x}{x - y}-\ln(x^2 - y^2) + \frac{2x}{x - y}=0

J'obtiendrais donc 0, mais je ne suis pas sûr...

Posté par
Pirhore : Calcul dérivée partielle 10-12-16 à 15:18


par rapport à x, c'est   ln(x^2-y^2)\dfrac{2x}{x^2-y^2}

Posté par
veledare : Calcul dérivée partielle 10-12-16 à 17:26

bonjour,
la dérivée partielle par rapport à x
c'est bien ln(x²+y²)+2x/(x-y)

ta dérivée partielle par rapport à y est inexacte

Posté par
Skapgoatre : Calcul dérivée partielle 10-12-16 à 18:44

Bonjour,

Merci! ah donc la dérivée par rapport à x c'était bien ça. Par rapport à y, un petit indice? :s

Posté par
veledare : Calcul dérivée partielle 10-12-16 à 19:00

la dérivée de ln(x²-y²) par rapport à y c'est -2y/(x²-y²)  il me semble que tu as mis -2x? faute de frappe?

Posté par
Pirhore : Calcul dérivée partielle 10-12-16 à 23:21

Bonsoir à vous deux,

désolé Skapgoat, oui veleda a raison! La prochaine fois j'écrirai le développement sur papier au lieu de vouloir le faire de tête

Posté par
Skapgoatre : Calcul dérivée partielle 11-12-16 à 13:06

Merci à vous 2 !

Effectivement j'ai donc  \ln(x^2 - y^2) + \frac{2x}{x - y}-\ln(x^2 - y^2) - \frac{2y}{x - y}=0

Posté par
veledare : Calcul dérivée partielle 11-12-16 à 13:16

c'est -(-2y) donc c'est +2y donc cela ne fait pas 0

Posté par
Skapgoatre : Calcul dérivée partielle 11-12-16 à 15:54

Alors au final  \frac{\partial f}{\partial x}(x,y)-\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)  me donne donc du coup   \frac{2x+2y}{x-y}  ?

Posté par
Skapgoatre : Calcul dérivée partielle 13-12-16 à 10:42

Bonjour,

Quelqu'un saurait-il me confirmer le résultat?

Merci

Posté par
Skapgoatre : Calcul dérivée partielle 13-12-16 à 19:20

Personne?
Du coup je reste sur \frac{2x+2y}{x-y}  ?

Posté par
jsvdbre : Calcul dérivée partielle 14-12-16 à 10:11

Bonjour Skapgoat

1- En considérant y_0 fixé

f(x,y_0)=(x+y_0)\ln(x^2-y_0^2)=f_{y_0,1}(x)f_{y_0,2}(x)

\dfrac{\partial f}{\partial x}(x,y)|_{(x_0,y_0)}= \ln(x_0^2-y_0^2)+\dfrac{2x_0(x_0+y_0)}{x_0^2+y_0^2}

2- En considérant x_0 fixé

f(x_0,y)=(x_0+y)\ln(x_0^2-y^2)=g_{x_0,1}(y)g_{x_0,2}(y)

\dfrac{\partial f}{\partial y}(x,y)|_{(x_0,y_0)}= \ln(x_0^2-y_0^2)-\dfrac{2y_0(x_0+y_0)}{x_0^2+y_0^2}

3- On recolle le tout pour avoir \left(\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)-\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)\right)|_{(x_0,y_0)}

\left(\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)-\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)\right)|_{(x_0,y_0)}=  \dfrac{2(x_0+y_0)(x_0+y_0)}{x_0^2+y_0^2}=2\dfrac{(x_0+y_0)^2}{x_0^2+y_0^2}

L'écriture \frac{\partial f}{\partial x}(x,y)|_{(x_0,y_0) signifiant \frac{\partial f(x,y)}{\partial x}|_{(x_0,y_0) signifiant qu'on évalue la dérivée partielle de f, fonction de la variable (x,y),  selon la variable x, au point (x_0,y_0).

Posté par
Skapgoatre : Calcul dérivée partielle 15-12-16 à 14:55

Merci beaucoup jsvdb c'est très clair !!


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