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Calcul des limites

Posté par
Nijiro 08-10-20 à 23:16

Bonsoir!
Voilà un EXO que j'ai résolu, mais je ne suis pas certaine des résultats~~:

Soit n *, Calculer:

a. \lim_{x\rightarrow 1}\frac{x+x^2+...+x^n-n}{(2-x)^n-1}= \lim_{x\rightarrow 1}\frac{\sum_{k=1}^{n}{x^k}-n}{(2-x-1).\sum_{k=0}^{n-1}{(2-x)^k}}=\lim_{x\rightarrow 1}\frac{\frac{\sum_{k=1}^{n}{(x^k)}}{-(x-1)}}{\sum_{k=0}^{n-1}{(2-x)^k}}=\lim_{x\rightarrow 1}\frac{-\sum_{k=1}^{n}{(\frac{x^k-1}{x-1})}}{\sum_{k=0}^{n-1}{(2-x)^k}}=\lim_{x\rightarrow 1}\frac{-\sum_{k=1}^{n}[{\frac{(x-1)\sum_{i=0}^{k-1}{x^i}}{(x-1)}}] }{\sum_{k=0}^{n-1}{(2-x)^k}}=\lim_{x\rightarrow 1}\frac{-\sum_{k=1}^{n}{\sum_{i=0}^{k-1}{x^i}}}{\sum_{k=0}^{n-1}{(2-x)^k}}=\frac{-\sum_{k=1}^{n}{\sum_{i=0}^{k-1}{1^i}}}{\sum_{k=0}^{n-1}{(2-1)^k}}=\frac{-\sum_{k=1}^{n}{k}}{\sum_{k=0}^{n-1}{1^k}}=\frac{-n}{n}=-1

b. \lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-cos(x).cos(2x)...cos(nx)}{x^2}= \lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-\prod_{k=1}^{n}{cos(kx)}}{x^2}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\prod_{k=1}^{n}{1^k}-\prod_{k=1}^{n}{cos(kx)}}{x^2}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\prod_{k=1}^{n}{(1-cos(kx))}}{x^2}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\prod_{k=1}^{n}{[\frac{(1-cos(kx))}{(kx)^2}}*(kx)^2]}{x^2}=\frac{\prod_{k=1}^{n}{\frac{1-cos(kx)}{(kx)^2}}*\prod_{k=1}^{n}{(kx)^2}}{x^2}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\prod_{k=1}^{n}{\frac{1-cos(kx)}{(kx)^2}}*x^2*\prod_{k=2}^{n}{(kx)^2}}{x^2}=\lim_{x\rightarrow 0}\prod_{k=1}^{n}{\frac{1-cos(kx)}{(kx)^2}}*\prod_{k=2}^{n}{(kx)^2}=\prod_{k=1}^{n}{\frac{1}{2}}*\prod_{k=2}^{n}{0}=0

c.\lim_{x\rightarrow \frac{\pi }{2}}\frac{(1-sin(x))(1-sin^2(x))...(1-sin^n(x))}{cos^{2n}(x)}=\lim_{x\rightarrow \frac{\pi }{2}}\frac{\prod_{k=1}^{n}{(1-sin^k(x))}}{cos^{2n}(x)}
On pose: X=x-\frac{\pi }{2} alors :
x\rightarrow \frac{\pi }{2}\Leftrightarrow X\rightarrow 0.
Du coup,
\lim_{X\rightarrow 0}\frac{\prod_{k=1}^{n}{(1-sin^k(X+\frac{\pi }{2}))}}{cos^{2n}(X+\frac{\pi }{2}}=\lim_{X\rightarrow 0}\frac{\prod_{k=1}^{n}{(1-cos^k(X))}}{-sin^{2n}(X)}=\lim_{X\rightarrow 0}\frac{\prod_{k=1}^{n}{(1-cos(X)).\sum_{i=0}^{k-1}{cos^i(X)}}}{-sin^{2n}(X)}=\lim_{X\rightarrow 0}\frac{\prod_{k=1}^{n}{(1-cos(X))}*\prod_{k=1}^{n}{\sum_{i=0}^{k-1}{cos^i(X)}}}{-sin^{2n}(X)}=\lim_{X\rightarrow 0}-\frac{(1-cos(X))^n*\prod_{k=1}^{n}{\sum_{i=0}^{k-1}{cos^i(X)}}}{\frac{sin^{2n}(X)}{X^{2n}}*X^{2n}}=\lim_{X\rightarrow 0}-\frac{(1-cos(X))^n}{X^{2n}}*\frac{1}{\frac{sin^{2n}(X)}{X^{2n}}}*\prod_{k=1}^{n}{\sum_{i=0}^{k-1}{cos^i(X)}}
=\lim_{X\rightarrow 0}-(\frac{(1-cos(X))}{X^2})^n*(\frac{1}{\frac{sin(X)}{X}})^{2n}*\prod_{k=1}^{n}{\sum_{i=0}^{k-1}{cos^i(X)}}=-(\frac{1}{2})^n*\frac{1}{1^{2n}}*\prod_{k=1}^{n}{\sum_{i=0}^{k-1}{cos^i(0)}}=-(\frac{1}{2})^n*\frac{1}{1^{2n}}*\prod_{k=1}^{n}{\sum_{i=0}^{k-1}{1}}=-(\frac{1}{2})^n*\prod_{k=1}^{n}{k}=-\frac{1}{2^n}*n!=\frac{-n!}{2^n}

C'est correct?
Merci d'avance.

Posté par
alb12re : Calcul des limites 08-10-20 à 23:24

salut,
bis repetita taux d'accroissement ! c'est plus rapide !

Posté par
Nijirore : Calcul des limites 08-10-20 à 23:32

alb12 @ 08-10-2020 à 23:24

salut,
bis repetita taux d'accroissement ! c'est plus rapide !


Le  taux d'accroissement??
Peut-être une partie du cours qu'on n'a pas encore atteinte...

Posté par
Nijirore : Calcul des limites 08-10-20 à 23:38

On a juste commencé le cours, cet exo est un échauffement..

Posté par
alb12re : Calcul des limites 09-10-20 à 08:27

pour le a/ un taux d'accroissement est plus rapide
c'est du programme de premiere

Posté par
Nijirore : Calcul des limites 09-10-20 à 08:43

Le programme en France diffère peut-être du celui au Maroc.

Posté par
alb12re : Calcul des limites 09-10-20 à 14:10

certes il differe mais au maroc on en sait plus qu'en france pour un niveau donne

Posté par
Nijirore : Calcul des limites 09-10-20 à 19:31

Oui oui, vous avez raison,  je me rappelle maintenant!! T_a (x)=\frac{f (x)-f (a)}{x-a}

Posté par
alb12re : Calcul des limites 09-10-20 à 19:37

tu peux appliquer cette methode dans le a/
J'invite quiconque a de bons yeux à contnuer d'aider Nijiro

Posté par
Nijirore : Calcul des limites 09-10-20 à 19:57

J'ai détecté  plusieurs erreures dans ma résolution:

■Pour a:
\lim_{x\rightarrow 1}\frac{-\sum_{k=1}^{n}{\sum_{i=0}^{k-1}{x^i}}}{\sum_{k=0}^{n-1}{(2-x)^k}}=\frac{-\sum_{k=1}^{n}{\sum_{i=0}^{k-1}{1^i}}}{\sum_{k=0}^{n-1}{(2-1)^k}}=\frac{-\sum_{k=1}^{n}{k}}{\sum_{k=0}^{n-1}{1^k}}=\frac{-n.\frac {(n+1)}{2}}{n}=\frac {-(n+1)}{2}

=> J'ai commis une erreur en calculant la somme de k (somme d'une suite arithmétique).

■Pour B:
\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\prod_{k=1}^{n}{1^k}-\prod_{k=1}^{n}{cos(kx)}}{x^2}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\prod_{k=1}^{n}{1-cos (kx)}}{x^2}

=> Ce passage est incorrect car \prod_{k=1}^{n}{1^k}-\prod_{k=1}^{n}{cos (kx)}\neq \prod_{k=1}^{n}{1-cos (kx)}
Donc le reste est insensé.

■Pour c:
\lim_{X\rightarrow 0}\frac{\prod_{k=1}^{n}{(1-sin^k(X+\frac{\pi }{2}))}}{cos^{2n}(X+\frac{\pi }{2})}=\lim_{X\rightarrow 0}\frac{\prod_{k=1}^{n}{(1-cos^k(X))}}{-sin^{2n}(X)}
Ici il y a une erreur de signe:
cos^{2n}(X+\frac{\pi }{2})=sin^{2n}(X) (je n'ai pas fait attention à la puissance qui est paire^-^'), donc le résultat final est:
\frac{n!}{2^n}

Posté par
Nijirore : Calcul des limites 09-10-20 à 19:58

alb12 @ 09-10-2020 à 19:37

tu peux appliquer cette methode dans le a/
J'invite quiconque a de bons yeux à contnuer d'aider Nijiro


Je vais l'appliquer tout de suite ^-^.

Posté par
PLSVUre : Calcul des limites 09-10-20 à 20:37

Bonsoir,
B)transforme  le numérateur:
exemple
1-abc=1-a+a(1-b)+ab(1-c)

Posté par
Nijirore : Calcul des limites 09-10-20 à 21:07

Ça marche PLSVU! Merci ^-^.
Le résultat final est: \frac{n (n+1)(2n+1)}{12}?

Posté par
PLSVUre : Calcul des limites 09-10-20 à 23:04


b)   ok  pour (  la somme des  carrés  des  entiers )/2  

Posté par
Nijirore : Calcul des limites 10-10-20 à 20:10

Comme ça:
\lim_{x \rightarrow 0}\frac{1-cos(x).cos(2x).cos(3x)...cos(nx)}{x^2}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-cos(x)+cos(x)(1-cos(2x))+...+\prod_{i=1}^{n-1}{cos(ix)(1-cos(nx))}}{x^2}=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{1-cos(x)}{x^2}+\frac{cos(x)(1-cos(2x))}{x^2}+...+\frac{\prod_{i=1}^{n-1}{cos(ix)(1-cos(nx))}}{x^2} =\lim_{x \rightarrow 0}\frac{1-cos(x)}{x^2}+\frac{cos(x)(1-cos(2x))}{4x^2}*4+...+\frac{\prod_{i=1}^{n-1}{cos(ix)(1-cos(nx))}}{(nx)^2}*n^2=\lim_{x \rightarrow 0}\sum_{k=1}^{n}{\prod_{i=0}^{k-1}{cos(ix)}*\frac{1-cos(kx)}{(kx)^2}*k^2}=\sum_{k=1}^{n}{\frac{1}{2}*k^2}=\frac{1}{2}*\sum_{k=1}^{n}{k^2}=\frac{1}{2}*\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{12}.?

Posté par
PLSVUre : Calcul des limites 11-10-20 à 10:16

\dfrac{1-cos(x)cos(2x)....cos(nx)}{x^2}= \\ \dfrac{1-cos(x)}{x^2}+\dfrac{\cos(x)(1-cos(2x))}{x^2}...+\Prod_{i=1}^{n-1}\dfrac{{cos(ix)(1-cos(nx))}}{x^2}
  pour la limite quand x tend vers 0   alors cos(x) tend vers 1
d'où
\lim_{x_to 0}\dfrac{1-cos(x)}{x^2}+\dfrac{(1-cos(2x)}{x^2}...+\dfrac{(1-cos(nx))}{x^2}
or
1-cos(2a)=sin^2(a)
\lim_{x \to 0}\dfrac{sin(x)}{x}=1

( pour le c)  je ne comprends pas .. j'ai beaucoup de mal à lire ce que tu as  écrit, le résultat est bien  n!/2n
sans changement de variable  on peut montrer que  la suite (Un) tel queu_n=\dfrac{1-sin^{n}(x)}{cos^2(x)} est une  suite  arithmétique de raison  \frac{1}{2}

Posté par
Nijirore : Calcul des limites 11-10-20 à 10:25

D'accord. Merci infiniment PLSVU! Merci tout le monde ^-^.[strike][/strike]

Posté par
PLSVUre : Calcul des limites 11-10-20 à 10:34


on peut montrer que  la suite (Un) tel que la  u_n=\dfrac{1-sin^{n}(x)}{cos^2(x)} est une  suite  arithmétique de raison \frac{1}{2} ,quand x tend vers π/2

Posté par
PLSVUre : Calcul des limites 11-10-20 à 10:36

Posté par
Nijirore : Calcul des limites 11-10-20 à 10:50

PLSVU @ 11-10-2020 à 10:34


on peut montrer que  la suite (Un) tel que la  u_n=\dfrac{1-sin^{n}(x)}{cos^2(x)} est une  suite  arithmétique de raison \frac{1}{2} ,quand x tend vers π/2

Effectivement:
U_{n+1}-U_n=\frac{1-sin^{n+1}(x)}{cos^2 (x)}-\frac{1-sin^n (x)}{cos^2 (x)}=\frac{sin^n(x)(1-sin (x))}{cos^2 (x)}

On pose X=x-\frac{\pi }{2}, donc:
x\rightarrow \frac{\pi}{2} \Leftrightarrow X\rightarrow 0
Du coup:
\frac{cos^n (X)(1-cos (X))}{sin^2 (X)}=cos^n (X)*\frac{1-cos (X)}{X^2}*\frac{1}{(\frac{sin(X)}{X})^2}=1*\frac{1}{2}*1=\frac{1}{2}

Posté par
PLSVUre : Calcul des limites 11-10-20 à 20:04

Si X tend  vers 0
cosn(X) tend vers 1   OK
\dfrac{1-cos(X)}{X^2}        tend vers une FI (1-1)/0  ≠1/2
\dfrac{1}{\frac{\sin^2(X)}{X^2}}   tend vers 1   OK
sans changement de variable

U_{n+1} - U_n=\dfrac{sin^n(x)(1-sin(x)}{cos^2(x) }

or cos2(x)=1-sin2(x)=...........à factoriser

ensuite tu détermines la limite  Un+1-U n quand x tend vers π/2

Posté par
Nijirore : Calcul des limites 13-10-20 à 09:54

Ah bon! C'est compris . Merci PLSVU ^-^.

Posté par
PLSVUre : Calcul des limites 13-10-20 à 15:36

Bonjour Nijiro,
n'oublie pas que   "0/0 " est une des  formes  indéterminées  des limites


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