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Niveau maths spé
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Calcul du produit scalaire

Posté par
Ea1
23-04-18 à 20:01

Bonjour,

On cherche à déterminer (v|v) tq v soit le vecteur défini par l'égalité suivante: \sum_{i=k+1}^{p}\rho_ir_i=\sum_{i=1}^{k}\lambda_ir_i

La famille de vecteurs r_i est obtusangle càd:
(r_i|r_j) \le0

L'énoncé me demande de calculer le (v|v) (plus précisément, v=0), mais je n'y arrive pas.. Si quelqu'un parmi vous pouvait m'aider à trouver la bonne méthode ce serait parfaitement résolu

Merci pour votre temps.

Posté par
carpediem
re : Calcul du produit scalaire 23-04-18 à 20:24

salut

incompréhensible ...

ne peux-tu pas en spé donner l'énoncé exact et complet au mot près ?

si v = \sum_{i = k + 1}^pa_i r_i = \sum_{i = 1}^k b_i r_i

alors (v|v) = (\sum_{i = k + 1}^pa_i r_i|\sum_{i = 1}^k b_i r_i)

et le produit scalaire est bilinéaire et symétrique ....

Posté par
Ea1
re : Calcul du produit scalaire 23-04-18 à 20:32

Ok, pourriez vous exprimer le (v|v) en fonction de (r_i|r_j)?

Merci!

Posté par
carpediem
re : Calcul du produit scalaire 23-04-18 à 20:34

un peu de sérieux !! et tu te mets au boulot maintenant ...

Posté par
Ea1
re : Calcul du produit scalaire 23-04-18 à 20:35

Les \lambda_i et \rho_i sont posifs.

Posté par
Ea1
re : Calcul du produit scalaire 23-04-18 à 20:44

On travaille dans \mathbb{R}^n

Alors, (X|Y)=\sum_{i=1}^{n}X_iY_i

Posté par
Ea1
re : Calcul du produit scalaire 23-04-18 à 20:59

Ici on aura:
(v|v)=\sum_{t=1}^{p}v_tv_t (p est la dimension de la famille des r_t)

Je remplace le premier v_t par son expression N°1 et le deuxième v_t par la N°2.
v_t=\sum_{i=1}^{t}\lambda_ir_i (1)

v_t=\sum_{i=t+1}^{p}\rho_ir_i (2)

Je ne sais même pas si ça va m'aider à m'en sortir, je vous laisse vérifier le truc...

Merci encore une fois.

Posté par
Ea1
re : Calcul du produit scalaire 23-04-18 à 21:03

Comment faire intervenir le nouveau indice j

Posté par
verdurin
re : Calcul du produit scalaire 23-04-18 à 21:14

Bonsoir,
un conseil :  \sum_{i=k+1}^{p}\rho_ir_i peut s'écrire \sum_{j=k+1}^{p}\rho_jr_j

et
\Bigl(\sum_{j=k+1}^{p}\rho_jr_j \ {\big{|}}\ \sum_{i=1}^{k}\lambda_ir_i\Bigr)=\sum_{j=k+1}^{p}\rho_j\sum_{i=1}^{k}\lambda_i(r_i|r_j)

comme te l'a fait remarquer carpediem, que je salue.

Posté par
Ea1
re : Calcul du produit scalaire 23-04-18 à 21:17

Sachant que: j\nei

J'ai vraiment besoin de votre aide! Très important.

Posté par
Ea1
re : Calcul du produit scalaire 23-04-18 à 21:26

@carpediem, verdurin: Un grand MERCI.

C'est réglé.

Posté par
Ea1
re : Calcul du produit scalaire 23-04-18 à 21:36

\sum_{k=1}^{p}(\sum_{j=1}^{k}\rho_i\lambda_j(r_i|r_j))

D'où le (v|v) \le 0 et est \ge 0

Càd il est donc égale à 0.

Posté par
Ea1
re : Calcul du produit scalaire 24-04-18 à 01:23

J'ai une autre question:
Comment calculer le ||\sum_{i=1}^{p}a_ir_i||^2 en fonction de (r_i| r_i) et de (r_i| r_j)

Merci!

Posté par
Ea1
re : Calcul du produit scalaire 24-04-18 à 01:43

Je reformule la question:

comment calculer la norme d'une composition de n vecteurs linéairement indépendants (ici ce sont les a_ir_i)?

Posté par
carpediem
re : Calcul du produit scalaire 24-04-18 à 08:28

c'est du niveau lycée

||u||^2 = (u|u)

Posté par
Ea1
re : Calcul du produit scalaire 24-04-18 à 13:04

carpediem @ 24-04-2018 à 08:28

c'est du niveau lycée

||u||^2 = (u|u)


Et si u est une somme de vecteurs?

Posté par
carpediem
re : Calcul du produit scalaire 24-04-18 à 13:06

voir à 21h36 par exemple ... ou les deux dernières lignes de ma première réponse ...

Posté par
Ea1
re : Calcul du produit scalaire 24-04-18 à 13:23

||\sum_{i=1}^{p}a_ir_i||^2 =  \sum_{i=1, j=1}^{p}a_i.a_j.(r_i|r_j)

c'est ça?

Posté par
carpediem
re : Calcul du produit scalaire 24-04-18 à 14:58

tout à fait ...

Posté par
Ea1
re : Calcul du produit scalaire 24-04-18 à 16:02

On définit t_n(f)= \sum_{k=0}^{n} \frac{(T_k | f)}{|| T_k ||_2 ^2} . T_k

Il faut prouver que: ||t_n(f)||_2 = \sum_{k=0}^{n} \frac{(f|T_k)^2}{||T_k||_2^2}

Je ne comprends rien, pourquoi on n'a plus le T_k (à part celui du P.S) ?

Posté par
Ea1
re : Calcul du produit scalaire 24-04-18 à 16:14

Le fait que la base formée par les vecteurs T_k soit orthonormale serait-il envisagé comme étant condition nécessaire et suffisante ?

Posté par
lafol Moderateur
re : Calcul du produit scalaire 24-04-18 à 17:15

Bonjour
ne me dis pas que tu n'as pas encore pigé que le carré d'une norme est un scalaire, pas un vecteur ?

Posté par
carpediem
re : Calcul du produit scalaire 24-04-18 à 18:27

et qui est T_k ?

un énoncé complet est nécessaire pour comprendre où on va et ce qui est demandé : l'objectif du pb ...



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