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calcul du rayon du cercle inscrit d'un triangle

Posté par
Fezgop 19-10-22 à 21:38

Salut comment vous allez? s'il vous plaît j'ai besoin d'aide.
Exercice
Soit ABC un triangle; on pose: a=BC , b= AC , c= AB, \alpha = mesBAC , \beta= mesABC ,\gamma =mesACB. on admet que \frac{a}{sin\alpha }=\frac{b}{sin\beta }=\frac{c}{sin\gamma }=2R
1. Soit A3 le point d'intersection de la bissectrice de l'angle \hat{BAC} et de (BC). On admet que A3 appartient à [BC].  E n appliquant le résultat admis ci-dessus aux triangles ABA3 et ACA3, montrer que
\frac{A3B}{A3C}= \frac{AB}{AC}. En déduire que A3 est le barycentre de \left\{\left(B,b \right),\left( C,c\right) \right\}.
2. Montrer que le point I, centre du cercle inscrit au triangle ABC est le barycentre de \left\{\left(A,a \right),\left(B,b \right),\left(C,c \right) \right\}.
3. Montrer que BI²=\left(1+cos\beta \right)\frac{2a²c²}{\left(a+b+c \right)²}.
4. En déduire que le rayon r du cercle inscrit au triangle ABC est donné par r=\frac{abc}{2R\left(a+b+c \right)} où R désigne le rayon du cercle circonscrit au triangle ABC.

J'ai pu faire le n°1 et le 3.
Pour le 1 j'ai déduis ces relations respectivement du triangle AA3B \frac{A3B}{sin\frac{\alpha }{2}}=\frac{AA3}{sin\beta} et AA3C \frac{A3C}{sin\frac{\alpha }{2}}= \frac{AA3}{sin\gamma} et à partir de ces relations j'ai pu montrer la relation posée et faire la déduction.
Pour le 3, j'ai utilisé le n°2 pour le faire mais le problème est que j'ai pas fais la démonstration du n°2

Posté par
Sylvieg Moderateurre : calcul du rayon du cercle inscrit d'un triangle 20-10-22 à 07:35

Bonjour,
Pour 2), je conseille de poser J le barycentre de \left\{\left(A,a \right),\left(B,b \right),\left(C,c \right) \right\} ; puis démontrer que J est sur la droite (AA3).
Que penser ensuite de J par rapport aux autres bissectrices ?

Posté par
carpediemre : calcul du rayon du cercle inscrit d'un triangle 20-10-22 à 08:42

salut

dans la logique de la question 1/ on peut aussi introduire les points A_1 et A_2 ...

et faire le lien entre les points I et A_1, A_2 et A_3 ...

Posté par
Fezgopre : calcul du rayon du cercle inscrit d'un triangle 20-10-22 à 21:59

Sylvieg

Sylvieg @ 20-10-2022 à 07:35

Bonjour,
Pour 2), je conseille de poser J le barycentre de  \left\{\left(A,a \right),\left(B,b \right),\left(C,c \right) \right\} ; puis démontrer que J est sur la droite (AA3).
Que penser ensuite de J par rapport aux autres bissectrices ?

On va montrer que J appartient également aux droites (BB1) et (CC1) où
B1 est le point d'intersection de la bissectrice du triangle passant par B et de la droite (AC) et B2 celui de la bissectrice passant par C et de la droite (AB)
Ensuite on pourra remarquer que J qui est le point d'intersection des 3 droites se confond au point I centre du cercle inscrit ?

Posté par
Sylvieg Moderateurre : calcul du rayon du cercle inscrit d'un triangle 20-10-22 à 22:06

Les points se noteraient plutôt B3 et C3.
On peut dire "de même" pour les deux autres bissectrices.
Et en fait deux suffisent en tout.

Commence par démontrer que le point J est sur la bissectrice (AA3).

Posté par
Fezgopre : calcul du rayon du cercle inscrit d'un triangle 20-10-22 à 22:29

carpediem @ 20-10-2022 à 08:42

salut

dans la logique de la question 1/ on peut aussi introduire les points A_1 et A_2 ...

et faire le lien entre les points I et A_1, A_2 et A_3 ...

J'ai  pris B1 le point d'intersection de la bissectrice du triangle passant par B et de la droite (AC) et B2 celui de la bissectrice passant par C et de la droite (AB)
En procédant de la même manière que le n°1 j'ai pu montrer que B1=bar\left\{\left(A,a \right) ,\left(C,c \right)\right\} et C1= bar \left\{ \left(A,a \right),(B,b)\right\}. Ensuite je les ai mis sous forme de vecteurs j'ai fait la somme des 3 barycentres et j'ai introduit le point I. J'ai trouvé cette relation (b+c)IA3 + (a+b)IB1+ (a+c)IC1+2b IB+2a IA+2c IC = O->, ce sont des vecteurs

Posté par
Fezgopre : calcul du rayon du cercle inscrit d'un triangle 20-10-22 à 22:34

Sylvieg @ 20-10-2022 à 22:06

Les points se noteraient plutôt B3 et C3.
On peut dire "de même" pour les deux autres bissectrices.
Et en fait deux suffisent en tout.

Commence par démontrer que le point J est sur la bissectrice (AA3).

On a J=Bar \left\{ (A,a),(B,b),(C,c)\right\} J= Bar\left\{ (A,a), (A3,b+c)\right\}
Donc J (AA3)

Posté par
Sylvieg Moderateurre : calcul du rayon du cercle inscrit d'un triangle 21-10-22 à 07:44

D'accord

Posté par
Fezgopre : calcul du rayon du cercle inscrit d'un triangle 21-10-22 à 23:30

j'ai maintenant saisi comment faire de n°2, merci bcp. s'il vous plait et le n°4 ?

Posté par
Sylvieg Moderateurre : calcul du rayon du cercle inscrit d'un triangle 22-10-22 à 10:27

Pour 4), tu peux travailler dans le triangle BIA3.

Posté par
lakere : calcul du rayon du cercle inscrit d'un triangle 22-10-22 à 13:21

Bonjour à tous,

Il aurait été intéressant de savoir comment Fezgop a établi (sous cette forme) la formule :

   BI^2=(1+\cos\,\beta)\dfrac{2a^2c^2}{(a+b+c)^2}

J'attends que les échanges soient terminés pour la suite.

Posté par
Fezgopre : calcul du rayon du cercle inscrit d'un triangle 22-10-22 à 16:15

lake @ 22-10-2022 à 13:21

Bonjour à tous,

Il aurait été intéressant de savoir comment Fezgop a établi (sous cette forme) la formule :

   BI^2=(1+\cos\,\beta)\dfrac{2a^2c^2}{(a+b+c)^2}

J'attends que les échanges soient terminés pour la suite.


on a I=bar[\left\{\left(A,a \right) , \left(B,b \right),\left(C,c \right)\right\} \vec{BI}=\frac{1}{a+b+c}\left[a\vec{BA}+c\vec{BC} \right] \vec{BI}²=\left(\frac{1}{a+b+c} \right)²\left[a\vec{BA}+c\vec{BC} \right]²
BI²=\left(\frac{1}{a+b+c} \right)²\left[a²BA² +c²BC²+2ac\vec{BA}.\vec{BC} \right]
or BA²=c² , BC²=a² et \vec{BA}.\vec{BC}=BA\times BC\times cos\beta =a.c.cos\beta
Donc BI²=\left(\frac{1}{a+b+c} \right)²\left[a²c²+c²a²+2a²c²cos\beta \right]

c'est ce que j'ai fait, on arrange un peu et on a le résultat

Posté par
Fezgopre : calcul du rayon du cercle inscrit d'un triangle 22-10-22 à 16:17

Sylvieg @ 22-10-2022 à 10:27

Pour 4), tu peux travailler dans le triangle BIA3.


S'il vous plaît en faisant quoi?

Posté par
Sylvieg Moderateurre : calcul du rayon du cercle inscrit d'un triangle 22-10-22 à 16:48

Indices :
IA3 = r
L'angle en B est connu.
Il faut utiliser 3).

Posté par
lakere : calcul du rayon du cercle inscrit d'un triangle 22-10-22 à 17:00

Bonjour Sylvieg,

Citation :
IA3 = r


J'ai un doute. C'est moi ou bien ?

Posté par
Fezgopre : calcul du rayon du cercle inscrit d'un triangle 22-10-22 à 17:17

Sylvieg @ 22-10-2022 à 16:48

Indices :
IA3 = r
L'angle en B est connu.
Il faut utiliser 3).


J'ai une question. Est ce que IA3 est un rayon du cercle inscrit? parce que sur ce site https://www.geogebra.org/m/s6EdZ9Ca , le projeté orthogonal de I sur [BC] appartient au cercle et est un rayon

Posté par
Sylvieg Moderateurre : calcul du rayon du cercle inscrit d'un triangle 22-10-22 à 17:33

J'ai confondu A3 avec autre chose
En notant H3 le projeté orthogonal de I sur le côté BC,
on a IH3 = r.

Posté par
Fezgopre : calcul du rayon du cercle inscrit d'un triangle 22-10-22 à 19:00

Sylvieg @ 22-10-2022 à 17:33

J'ai confondu A3 avec autre chose
En notant H3 le projeté orthogonal de I sur le côté BC,
on a IH3 = r.


d'après la propriété de Pythagore, on a: sin\frac{\beta }{2}=\frac{r}{BI}\Leftrightarrow r=BIsin\frac{\beta }{2} or BI=\frac{ac}{a+b+c}\sqrt{2\left(1 +cos\beta\right)}=\frac{ac}{a+b+c}\sqrt{2\left(2cos²\frac{\beta }{2} \right)} car cos\beta =2cos²\frac{\beta }{2}-1 , sin\beta =2sin\frac{\beta }{2}cos\frac{\beta }{2}\Leftrightarrow sin\frac{\beta }{2}=\frac{sin\beta }{2cos\frac{\beta }{2}} et \frac{b}{sin\beta }=2R\Leftrightarrow sin\beta =\frac{b}{2R} (théoréme des sinus)
donc on a r=\frac{ac}{a+b+c}\sqrt{\left(2cos\frac{\beta }{2} \right)²}\times \left(\frac{1}{2cos\frac{\beta }{2}} \right)\times \left(\frac{b}{2R} \right)\Leftrightarrow r=\frac{ac}{a+b+c}\left(2cos\frac{\beta }{2} \right)\times \left(\frac{1}{2cos\frac{\beta }{2}} \right)\times \left(\frac{b}{2R} \right)
r=\frac{abc}{2R\left(a+b+c \right)}
D'où le résultat

Posté par
Sylvieg Moderateurre : calcul du rayon du cercle inscrit d'un triangle 22-10-22 à 19:09

Oui, sauf que ce n'est pas Pythagore au départ

Posté par
Fezgopre : calcul du rayon du cercle inscrit d'un triangle 22-10-22 à 19:13

Sylvieg @ 22-10-2022 à 19:09

Oui, sauf que ce n'est pas Pythagore au départ

Ah d'accord c'est pas Pythagore

Posté par
Sylvieg Moderateurre : calcul du rayon du cercle inscrit d'un triangle 22-10-22 à 19:14

Mais le fait que le triangle BIH3 est rectangle est utilisé.
Comme le 3) donne BI2, je te conseille de faire les calculs avec des carrés pour éviter les racines :
r2 = BI2sin2(/2) = ...

Posté par
Fezgopre : calcul du rayon du cercle inscrit d'un triangle 22-10-22 à 19:14

Merci beaucoup à vous tous qui m'ont aidé et je remercie particulièrement  Sylvieg

Posté par
Sylvieg Moderateurre : calcul du rayon du cercle inscrit d'un triangle 22-10-22 à 19:15

De rien ; et lake, que je salue, va revenir

Posté par
Fezgopre : calcul du rayon du cercle inscrit d'un triangle 22-10-22 à 19:16

Sylvieg @ 22-10-2022 à 19:14

Mais le fait que le triangle BIH3 est rectangle est utilisé.
Comme le 3) donne BI2, je te conseille de faire les calculs avec des carrés pour éviter les racines :
r2 = BI2sin2(/2) = ...


OK compris

Posté par
lakere : calcul du rayon du cercle inscrit d'un triangle 22-10-22 à 20:04

Ce que j'avais concocté se rapproche beaucoup des idées de Sylvieg; à vrai dire rien de bien nouveau.
Voici en image pour le fun :

calcul du rayon du cercle inscrit d\'un triangle

Posté par
Fezgopre : calcul du rayon du cercle inscrit d'un triangle 22-10-22 à 20:46

merci beaucoup lake pour la figure et la démontration

Posté par
Sylvieg Moderateurre : calcul du rayon du cercle inscrit d'un triangle 22-10-22 à 20:53

Et en prime, on a la loi des sinus qui crève les yeux


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