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Calcul intégral

Posté par
ntsm 29-01-20 à 16:29

Bonjour,

Je cherche à calculer l'intégrale suivante. Seulement, celle-ci me pose quelques problèmes :/

I=\int_{0}^{1}{\frac{ln(1+x)}{1+x^2}dx}

J'ai tenté le changement de variable x=tan(t), dx=sec^2(t)dt afin de me débarrasser du dénominateur, ce qui me donne:

I=\int_{0}^{\pi/4}{ln(1+tan(t))dt}

En intégrant par parties avec u=ln(1+tan(t)) et dv=dt, j'obtiens: du=\frac{sec^2(t)}{1+tan(t)}dt et v=t, d'où:

I=\left[t.ln(1+tan(t)) \right]_0^{\pi/4}- \int_{0}^{\pi/4}{\frac{t.sec^2(t)}{1+tan(t)}dt}

Soit, en reprenant le changement de variable précédent:

I=\frac{\pi.ln(2)}{4}- \int_{0}^{1}{\frac{Arctan(x)}{1+x}dx}

Je me suis rendu compte de suite que je pouvais obtenir le même résultat en intégrant directement l'intégrale initiale par parties avec u=ln(1+x) et dv=\frac{dx}{1+x^2}

C'est cette nouvelle intégrale qui me pose problème et j'ai beau me creuser la tête, je ne trouve aucun moyen de l'évaluer.
J'ai toutefois remarqué qu'elle est exactement égale à I en la calculant via WolframAlpha, ce qui donnerait alors:

I=\frac{\pi.ln(2)}{8}

Cela semble juste mais j'aimerais pouvoir le justifier. Serait-il possible d'évaluer directement cette seconde intégrale ou éventuellement de démontrer qu'elle est égale à I? Ou alors faudrait-il envisager une toute autre approche?

Merci d'avance pour votre aide (:

Posté par
larrechre : Calcul intégral 29-01-20 à 17:01

Bonjour,

Il faut commencer par remarquer que

\int_0^{\pi/4}\ln(cosx) dx =\int_0^{\pi/4}\ln(cos(\pi/4-x)) dx   (1) (faire le changement de variable x=\pi/4-u)

Or cos(\pi/4-x)= \dfrac{cosx+sinx}{\sqrt2}

En reportant dans (1) on obtient

\int_0^{\pi/4}\ln(cosx) dx =\int_0^{\pi/4}\ln(cosx+sinx) dx-\int_0^{\pi/4}\dfrac{\ln(2) dx}{2}

soit, finalement \int_0^{\pi/4}\ln(1+tanx) dx =\dfrac{\pi \ln(2)}{8}

Posté par
ntsmre : Calcul intégral 29-01-20 à 17:10

Effectivement, c'est bien plus simple comme cela

Merci beaucoup!

Posté par
larrechre : Calcul intégral 29-01-20 à 17:49

Posté par
larrechre : Calcul intégral 29-01-20 à 18:27

Cela me paraît quand même difficile pour un niveau Terminale.

Posté par
lakere : Calcul intégral 29-01-20 à 19:03

Bonjour à tous,

Une alternative possible (puisque le changement de variable semble autorisé):

\begin{aligned}I=\int_0^1\dfrac{\ln(1+x)}{1+x^2}\,\text{d}x\end{aligned}

On effectue le changement de variable u=\dfrac{1-x}{1+x}

qui mène à:

   \begin{aligned}I=\ln\,2\,\int_0^1\dfrac{1}{1+x^2}\,\text{d}x-I\end{aligned}

  et au résultat.

Bien sûr, en terminale, ça ne s'invente pas.



  

Posté par
ntsmre : Calcul intégral 29-01-20 à 19:09

En fait, je m'avance sur le programme de MPSI,  histoire de me préparer pour l'année prochaine mais aussi (et surtout!) par simple curiosité
J'hésitais à poster dans le forum du supérieur au lieu de celui du lycée mais j'ai pensé qu'il serait plus judicieux de demander de l'aide ici étant donné que je n'ai encore vu que très peu de notions de MPSI...

Pour info, cette intégrale est tirée du livre "Advanced Calculus Explored" de Hamza Alsamraee, avec lequel je m'entraîne au calcul infinitésimal en ce moment.

Posté par
ntsmre : Calcul intégral 29-01-20 à 19:20

Merci lake pour cette autre solution

Juste une question: qu'est ce qui vous a permis de penser à un tel changement de variable? (car celui-ci ne me saute vraiment pas aux yeux)

Posté par
lakere : Calcul intégral 29-01-20 à 19:26

Hélas, ntsm, rien ne m'a « sauté aux yeux ».

À mon âge, déjà un tantinet avancé, j'ai découvert cette intégrale et surtout la solution postée, il y a très peu de temps.

J'ai juste souhaité la communiquer à la communauté.

Rien de bien extraordinaire...

Posté par
larrechre : Calcul intégral 29-01-20 à 19:36

S'il faut tout dire...

Je cherchais une intégrale à proposer à FerreSucre qui est demandeur d'exercices. J'ouvre mon vieux bouquin de Taupe et , dans les exos de fin de chapitre, je tombe, entre autres,  sur celle -là.

Il y avait une indication préliminaire , à savoir " montrer que \int_0^{\pi/4}\ln(cosx) dx =\int_0^{\pi/4}\ln(cos(\pi/4-x)) dx "...

Je n'ai donc pas grand mérite.

Quand même curieux le hasard...

Posté par
lakere : Calcul intégral 29-01-20 à 19:40

Bonsoir larrech

Le hasard va plus loin que ça: j'ai vu passer le topic de FerreSucre et j'ai failli lui proposer cette même intégrale.
J'ai abandonné quand j'ai vu les premières interventions.

Étonnant non ?

Posté par
larrechre : Calcul intégral 29-01-20 à 19:46

Bonsoir lake,

Ah, oui, vraiment extraordinaire ! !

Posté par
lakere : Calcul intégral 29-01-20 à 19:58

Côté FerreSucre (je viens d'aller voir), il est toujours temps d'intervenir.

Si le cœur t'en dit, je te laisse faire....

Et si tu interviens, je posterai autre chose à la fin de vos échanges

Posté par
larrechre : Calcul intégral 29-01-20 à 20:03

Je ne connais pas son niveau réel et en dehors de fractions rationnelles, ce qui n'a rien de bien enthousiasmant, je ne vois pas. Alors, si le coeur t'en dit...

Posté par
lakere : Calcul intégral 29-01-20 à 20:09

Mais donne lui l'intégrale de ce fil! Il s'est avancé sur le changement de variable.
On a maintenant deux solutions. Je pense que FerreSucre y trouvera son bonheur.
J'en ai en réserve, mais seulement après ton intervention

Posté par
ntsmre : Calcul intégral 29-01-20 à 20:13

Si vous avez quelques intégrales de côté, je suis également preneur

Posté par
lakere : Calcul intégral 29-01-20 à 20:32

>>ntsm,

En voici une:

  Calculer \begin{aligned}I=\int_0^{\pi}\dfrac{x\,\sin\,x}{1+\cos^2x}\,\text{d}x\end{aligned}

Je ne pourrai plus te répondre ce soir.

Posté par
ntsmre : Calcul intégral 29-01-20 à 20:49

Merci! Je vais essayer de la faire ce soir.

Bonne soirée à vous

Posté par
ntsmre : Calcul intégral 29-01-20 à 22:04

Après avoir passé un peu de temps dessus, je pense avoir trouvé une solution

Il suffit de remarquer que:

I=\int_{0}^{\pi}\frac{x.sin(x)}{1+cos^2(x)}dx=\int_{0}^{\pi}\frac{(\pi-x)sin(\pi-x)}{1+cos^2(\pi-x)}dx

or, sin(\pi-x)=sin(x) et cos^2(\pi-x)=cos^2(x)

On obtient donc:

I= \int_{0}^{\pi}\frac{\pi.sin(x)}{1+cos^2(x)}dx-\int_{0}^{\pi}\frac{x.sin(x)}{1+cos^2(x)}dx

La deuxième intégrale de cette expression étant égale à I, il vient:

I=\frac{\pi}{2}\int_{0}^{\pi}\frac{sin(x)}{1+cos^2(x)}dx

En effectuant le changement de variable u=cos(x), du=-sin(x), on a:

I=\frac{\pi}{2}\int_{-1}^{1}\frac{du}{1+u^2}=\frac{\pi}{2}\left[Arctan(u)\right]_{-1}^{1}

Soit:

I=\frac{\pi^2}{4}

Posté par
larrechre : Calcul intégral 29-01-20 à 22:18

Posté par
FerreSucrere : Calcul intégral 30-01-20 à 07:56

On parle de moi ? Ah je suis pas le seul à m'avancer ! J'ai commencé à regarder les intégrales avec les u-trig-sub c'est un peu compliqué, faut retenir toutes les formules mais ça vient petit à petit !
Ducoup moi aussi je veux bien une intégrale mdr ^^.

Posté par
lakere : Calcul intégral 30-01-20 à 10:22

>>ntsm ,


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