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calcul integral

Posté par
aya4545 09-08-22 à 15:17

bonjour
j ai du mal a déceler l erreur dans ce raisonnement
soit à calculer   I= \int_0^{\pi}\frac{dx}{1+\cos²x}
on a \int_0^{\pi}\frac{dx}{1+\cos²x}=\int_0^{\pi}\frac{dx}{1+\frac {1}{1+tan²x}}=\int_0^{\pi}\frac{2+\cos²x dx}{1+\cos²x}

si on pose t=\tan x  alors dt=(1+t²)dx et par  suite
I=\int_{\tan 0}^{\tan (\pi)} \frac{dt}{2+t²}=0   (\tan 0=\tan (\pi)=0) ce qui est absurde puisque (\frac{1}{1+\cos²x}> 0 \implies I>0)

l erreure  est ce qu elle dans la premiere ligne  c est a dire je ne peux pas remplacer \cos²x par \frac {1}{1+tan²x} puisque x\in [0 \pi] donc x peut être égale \frac{\pi}{2}

ou ou bien dans le changement de variablet=\tan x   puisque la fonction \tan n est pas definie sur [0  \pi] donc n est pas de classe C^1 sur [0  \pi]  et merci

Posté par
carpediemre : calcul integral 09-08-22 à 15:52

salut

effectivement le changement de variable est discontinu et pose pb en pi/2 qui n'existe pas pour la fonction tangente ...

Posté par
malou Webmasterre : calcul integral 09-08-22 à 16:01

bonjour

il y a des erreurs de recopie également dans la première série d'égalité des intégrales

Posté par
aya4545re : calcul integral 09-08-22 à 17:22

bonjour carpediem bonjour malou
donc l erreur est dès le depart

\int_0^{\pi}\frac{dx}{1+\cos²x}=\int_0^{\pi}\frac{dx}{1+\frac {1}{1+tan²x}}=\int_0^{\pi}\frac{2+\cos²x dx}{1+\cos²x}

Posté par
carpediemre : calcul integral 09-08-22 à 17:54

comment tan devient cos ?

Posté par
aya4545re : calcul integral 09-08-22 à 18:08

ona tan²x=\frac{sin²x}{cos²x}=\frac{1-cos²x}{cos²x}=\frac{1}{cos²x}-1  \forall  x\ne \frac{\pi}{2}+k\pi      \hspace k\in \Z

Posté par
aya4545re : calcul integral 09-08-22 à 18:54

je m'excuse
\\ \\ \int_0^{\pi}\frac{dx}{1+\cos²x}=\int_0^{\pi}\frac{dx}{1+\frac {1}{1+tan²x}}=\int_0^{\pi}\frac{2+\tan²x dx}{1+\tan²x}

Posté par
Razesre : calcul integral 11-08-22 à 20:13

Bonjour,

Il y a des erreurs de calcul. Si tu procédé ainsi, ça sera plus clair pour toi.
\int_0^{\pi}\dfrac{dx}{1+\cos²x}=\int_0^{\pi}\dfrac 1{\cos^2x}\dfrac{1}{\left (\dfrac {1}{\cos^2x}+1\right)}dx

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : calcul integral 25-08-22 à 00:17

Bonsoir

une manière de faire


\Large\boxed{I=\int_0^{\pi}\frac{dx}{1+\cos^2x}=2\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{dx}{1+\cos^2x}=2\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{1+\tan^2x}{2+\tan^2x}~dx}


remarquer que la nouvelle intégrande est prolongeable par continuité sur le segment [0,\frac{\pi}{2}], puis que,


\Large\boxed{I=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{1+\tan^2x}{1+\left(\frac{\tan x}{\sqrt2}\right)^2}~dx=\sqrt2\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{\left(\frac{\tan x}{\sqrt2}\right)'}{1+\left(\frac{\tan x}{\sqrt2}\right)^2}~dx=\sqrt2\left[\arctan\left(\frac{\tan x}{\sqrt2}\right)\right]_0^{\frac{\pi}{2}}=\frac{\pi}{\sqrt2}}

Posté par
aya4545re : calcul integral 27-08-22 à 10:47

bonjour
merci  elhor_abdelali    merci Razeset je m excuse de ce retard pour répondre
il s agit ici d une intégrale généralisé


la fonction intégrande est Riemann-intégrable sur tout intervalle [0, c] inclus dans
[0, pi/2[,
et la fonction F définie par
F(x) = \int_0^{\frac{\pi}{2}}   f(t)dt
possède une limite lorsque x tend vers \frac{\pi}{2} par valeurs inférieures, qui est 1

mais je ne peux integrer par changement de variable  en posant :
t=\phi(x)=\tan (x) etant donné que la fonction \phi n est pas de classe C^1 sur [0, pi/2],

Posté par
aya4545re : calcul integral 27-08-22 à 10:54

je m excuse
et la fonction F définie par
F(x) = 2\int_0^x  \frac{1+\tan^2x}{2+\tan^2x}~dx
possède une limite lorsque x tend vers \frac{\pi}{2} par valeurs inférieures, qui est 1

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : calcul integral 28-08-22 à 01:16

Bonsoir aya4545


Lorsqu'une fonction numérique f est continue sur un intervalle ouvert borné ]a,b[ et admet des limites finies en a^{^{+}} et b^{^{-}},


l'intégrale \int_a^bf(t)dt n'est pas une intégrale généralisée (c'est un faux problème)


c'est tout simplement l'intégrale d'une fonction continue sur un segment (on identifie f à son prolongement par continuité sur le segment [a,b])



Comme c'est le cas par exemple pour les intégrales \int_0^1\frac{x-1}{\ln x}dx , \int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{x}{\tan x}dx , \int_0^1\ln(x)\ln(1-x)dx ...

Posté par
phyelec78re : calcul integral 28-08-22 à 22:00

Bonsoir,

J'ai tenté de faire cette intégrale mais je trouve un résultat très différent. J'ai fait une erreur mais je ne vois pas laquelle, voici mon calcul :

cos^2(x)=2cos^2(\dfrac x2)-1

I=2 \int_0 ^{\frac{\pi}2} \dfrac{dx}{1+2cos^2(\dfrac x2)-1}=2 \int_0 ^{\frac{\pi}2} \dfrac{dx}{2cos^2(\dfrac x2)}

Donc  je trouve

I=2[\arctan(\dfrac x2)]_0^{\frac{\pi}2}

Pourriez-vous dire où mon calcul est erroné et pourquoi.

Très cordialement
Phyelec78

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : calcul integral 29-08-22 à 00:09

Bonsoir phyelec78


On a plutôt cos(x)=2cos^2(\dfrac x2)-1 mais pas cos^2(x)=2cos^2(\dfrac x2)-1

Posté par
phyelec78re : calcul integral 29-08-22 à 12:03

@elhor_abdelali,oui, merci, je me disais aussi. Se relire un exercice pas facile.Très cordialement Phyelec78

Posté par
aya4545re : calcul integral 31-08-22 à 13:06

bonjour
merci   elhor_abdelali merci phyelec78
et a bientôt sur l ile

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : calcul integral 31-08-22 à 19:24

C'est un plaisir aya4545


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