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calculer l intersection des droites

Posté par taniab (invité) 22-02-05 à 16:06

Dans un repere orthonormé (0;\vec{i};\vec{j}) d'unité 1 cm, soient les points A(-1;1) ; B(2;\frac{3}{2}) ; C(\frac{1}{2};\frac{7}{2}) et D(1;-\frac{5}{3}).

1°) Calculer les coordonnées de vecteurs \vec{AB}, \vec{CD}, \vec{AD} et \vec{CB}.  (Je l'ai fait.)

2°) En déduire que les droites (AB) et (CD) sont sécantes et que les droites (AD) et (CB) sont parallèles.  (Je l'ai fait.)

3°) Soit le point d'intersection des droites (CD) et (AB) et k le réel tel que : \vec{CI}=k(\vec{CD})
a) Exprimer les coordonnées de I en fonction de k
b) Exprimer les coordonnées de \vec{AI} en fonction de k
c)En utilisant le fait que les vecteurs \vec{AI} et \vec{AB} sont colinéaires, calculer le réel k.
d) En déduire les coordonnées de I

J'aimerai simplement comprendre comment trouver la valeur de k.

Posté par
Nightmarere : calculer l intersection des droites 22-02-05 à 16:08

Bonjour ? s'il-vous-plait ? merci ?

attentionextrait de c_faq la FAQ du forum :

Q09 - Comment bien rédiger son message ?

Posté par taniab (invité)re : calculer l intersection des droites 22-02-05 à 16:20

je suis plus que vraiment désolée j'ai passé tellement de temps à rédiger l'exercice que j'ai oublié l'essentiel vraiment sorry.
S'il vous plait et merci à ceux qui pourront m'aider.
Taniab

Posté par
isisstruissre : calculer l intersection des droites 22-02-05 à 16:22

Nightmare est implacable! C'est vrai que le bonjour-s'il-vous-plaît manquait, mais elle a au moins bien expliqué ce qu'elle avait fait et où elle avait des problèmes, ce qui n'est malheureusement pas le cas de tout le monde sur l'!

taniab, si tu suis bien les petites lettres (a), (b), (c) et (d) tu as la marche à suivre pour trouver k. Si les coordonnées de I sont (x,y) on fera

(a) Calculer \vec{CI} en fonction de x et y, puis avec \vec{CI}=k\vec{CD} tu auras x et y en fonction de k.

(b) Calculer \vec{AI} en fonction de x et y, puis remplacer les équations trouvé sous (a) pour éliminer les x et y et n'avoir que des k.

(c) \vec{AI}=c\vec{AB}
Si tu utilises les expréssions de (b) tu as un système à 2 équations et 2 inconnues. Là tu trouves k et c.

Isis

Posté par
Nightmarere : calculer l intersection des droites 22-02-05 à 16:31

Oui c'est vrai Isis , d'ailleur je me suis fais la remarque dans ma tête lorsque j'ai posté mon message de mécontentement me disant qu'au moin , c'était écrit en Latex , c'est pour ça que je ne lui en veux pas . Et puis comme tu peux le remarquer , je n'ai pas suivis mon message d'un smiley ""


Jord

Posté par taniab (invité)re : calculer l intersection des droites 22-02-05 à 16:47

Merci beaucoup pour ces éléments de réflexions, j'espère que j'y arriverai.
maintenant je retourne au travail.

Posté par taniab (invité)re : calculer l intersection des droites 23-02-05 à 15:16

Bonjour,

Je cale à nouveau et j'ai besoin de comprendre si j'ai eu la bonne démarche.
Merci d'avance à ceux qui me confirmeront.

Donc si j'ai bien compris:
\vec{CI}(xI-\frac{1}{2} ; yI-\frac{7}{2})
k\vec{CD}==> pour x=k(1-\frac{1}{2})
            pour y=k(-\frac{5}{3}-\frac{7}{2})
réponse a)
I(k(1-\frac{1}{2}); k(-\frac{5}{3}-\frac{7}{2})) en fonction de k

réponse b)
Donc \vec{AI} en fonction de k, donne \vec{AI}[k(1-\frac{1}{2})+1 ; k(-\frac{5}{3}-\frac{7}{2})-1] soit \vec{AI}(k\frac{1}{2}+1 ; k(-\frac{31}{6})-1)

c\vec{AB}==> pour x=c(2+1)
            pour y=c(\frac{3}{2}-1)

Et à partir de là je bloque, merci pour tous vos conseils.
Taniab

Posté par
isisstruissre : calculer l intersection des droites 23-02-05 à 15:46

Ce que tu as trouvé au (a) est justeau début, mais ensuite je crois que tu te mélange les pinceaux. Et pourquoi tu ne sommes pas tes fractions? Celà ferait une équation plus courte.
\vec{CI}=k\vec{CD}
\Rightarrow\qquad\(\array{X_I-\frac{1}{2}\\Y_I-\frac{7}{2}}\)=k\(\array{1-\frac{1}{2}\\-\frac{5}{3}-\frac{7}{2}}\)=k\(\array{\frac{1}{2}\\-\frac{31}{6}}\)
\Rightarrow\qquad\(\array{X_I\\Y_I}\)-\(\array{\frac{1}{2}\\\frac{7}{2}}\)=k\(\array{\frac{1}{2}\\-\frac{31}{6}}\)
\Rightarrow\qquad\(\array{X_I\\Y_I}\)=k\(\array{\frac{1}{2}\\-\frac{31}{6}}\)+\(\array{\frac{1}{2}\\\frac{7}{2}}\)
\Rightarrow\qquad\(\array{X_I\\Y_I}\)=k\(\array{\frac{1}{2}\\-\frac{31}{6}}\)+\(\array{\frac{1}{2}\\\frac{7}{2}}\)


Ensuite c'est pareil:
\vec{AI}=\(\array{X_I+1\\Y_I-1}\)=\(\array{X_I\\Y_I}\)+\(\array{1\\-1}\)
et là tu remplaces de l'équation précédente!

Isis

Posté par taniab (invité)re : calculer l intersection des droites 23-02-05 à 16:34

Merci Isis, mais j'avoue que je patauge toujours.

La réponse a) me demande d'exprimer I en fonction de k ce qui me donne I(k\frac{1}{2} ; k(-\frac{31}{6}))

Et donc \vec{CI}(k\frac{1}{2}+1 ; k(-\frac{31}{6})+\frac{7}{2}) en fonction de k.

Pour \vec{AI}(k\frac{1}{2}+1 ; k(-\frac{31}{6})-1)  
j'ai fait comme tu me l'as dit mais je bloque pour la suite.
En fait je ne sais pas comment me servir de c\vec{AB}(c(2+1) ; c(\frac{3}{2}-1))
J'ai besoin qu'on m'explique car mes cours ne sont pas explicites sur ce point.

Posté par
isisstruissre : calculer l intersection des droites 23-02-05 à 17:11

Pour le (a) je ne suis toujours pas d'accord avec toi. Tu as échangé les expréssions de I avec \vec{CI}. Il faut se rappeler que I a les coordonnées (XI, YI) et on a bien

\vec{CI}=k\(\array{\frac{1}{2}\\-\frac{31}{6}}\)

I=\(\frac{1}{2}k+\frac{1}{2}\;,\;-\frac{31}{6}k+\frac{7}{2}\)

Pour le (c) tu récris \vec{AI}=c\vec{AB} avec les informations que l'on vient d'obtenir. Celà donne:

k\(\array{\frac{1}{2}\\-\frac{31}{6}}\)+\(\array{\frac{1}{2}+1\\\frac{7}{2}-1}\)=m\(\array{3\\\frac{1}{2}}\)

tout ceci peut être réécrit sous forme de système de 2 équations:
\{\array{\frac{1}{2}k+\frac{3}{2}=3m\\-\frac{31}{6}k+\frac{5}{2}=\frac{1}{2}m}\.

Ce sytème est plus confortable lorsqu'il est écrit de cette manière là:
\{\array{k-6m=-3\\31k+3m=15}\.

Je suppose que tu sais résoudre ce sytème. Je te laisse aussi vérifier mes calculs, je n'exclu pas des erreurs.

Isis




Posté par taniab (invité)re : calculer l intersection des droites 23-02-05 à 17:36

Merci pour ta grande patience et  pour le a) tu as raison, je m'incline.
Je vais donc revoir le reste et m'appuyer sur tes conseils.
Et encore un grand merci à toi, Isis
Taniab

Posté par
elieval1 question svp 23-02-05 à 17:54

bonjour, comment montrer que des droites sont sécantes?
Pour montrer qu'elles sont parallèles,il faut montrer que les vecteurs qui les représentent sont clinéaires,mais comment montrer le "contraire"?

Posté par taniab (invité)re : calculer l intersection des droites 23-02-05 à 18:26

Bonjour elieval

j'espère que cela répondra à ta question.
théorème:
\vec{u}(x ; y) et \vec{v}(x' ; y') sont colinéaires ssi xy' - x'y = 0
non colinéaires ou sécantes ssi xy' - x'y différent de 0

Taniab

Posté par
elievalré 23-02-05 à 19:15

oui merci, je n'y avais pas pensé

Posté par taniab (invité)re : calculer l intersection des droites 23-02-05 à 23:14

un super grand merci pour ton coup de main Isis. Car je n'aurais pas pu terminer mon devoir, mon cours n'abordait pas le calcul d'un point d'intersection de 2 vecteurs.

Taniab


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