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Calculer une limite en - l'infini
Bonsoir ! et merci de prendre le temps de lire mon Topic 
Voila mon exercice :
Soit la fonction g définie sur 
par g(x) = x/(2-cos(x))
Calculer la limite de g en -
Je sais que g est une fonction périodique : elle ne subit donc pas les même règles de calculs des limites.
Je pensais encadrer cos(x) :
-1
cos(x) 1
1
-cos(x) -1
1+22-cos(x)-1+2
32-cos(x) 1
Après je pensais prendre la fonction inverse : c'est-à-dire 1/(2-cos(x)) , j'ai vérifié et elle est croissante sur donc l'ordre est conservé, et c'est là que ça me pose problème parce que j'obtiens :
1/3 1/(2-cos(x)) 1
et ce n'est pas DU TOUT cohérent 
Voila, merci d'avance pour votre aide ;D
Bonsoir,
1<cosx<-1
-1<-cosx<1
2-1<2-cosx<2+1
1<2-cosx<3
1/3<1/(2-cosx)<1/1
x/3 < x(2-cosx)< x
x/3 -> - infini
x -> infini
g(x) est encadrée par deux suites qui tendent vers -infini donc g tend vers -infini
Petite remarque : pour vérifier que la fonction inverse est croissante je sais pas comment tu as fait.
Je t'explique : 1<2 et 1/2<1 et ceci est vrai pour tout x.
La démonstration de ceci : soit f(x)=1/x f'(x)=-1/x² quelque soit x de |R f'(x)<0 dond f décroissante.
Après je pensais prendre la fonction inverse : c'est-à-dire 1/(2-cos(x)) , j'ai vérifié et elle est croissante sur
La fonction inverse est croissante sur
? 
Remarque sur les inégalités avec le passage à l'inverse : Ceci est vrai uniquement si les expressions sont de même signe
1/3<1/(2-cosx)<1/1
x/3 < x(2-cosx)< x
La 2ème ligne est fausse.
x est négatif, vu qu'on va le faire tendre vers -
Bonjour
Je n'ai pas trop compris votre démarche pour prouver qu'elle est croissante ou décroissante sur |R ... Pouvez-vous me l'expliquer ?
1<cosx<-1
Est-ce que ce résultat est possible ? Un cosinus plus petit que (-1) et en même temps plus grand que 1 ?
Est-ce que ce résultat est possible ? Un cosinus plus petit que (-1) et en même temps plus grand que 1 ?
Bien sûr que non.
Reprenons proprement:
-1
cosx1
-1
-cosx1
1
2-cosx3
Maintenant tu appliques le fonction inverse à tout ça, sachant que la fonction inverse est décroissante sur
+
Donc ....... ?
Sachant que la fonction inverse est décroissante sur |R alors :
11/(2-cos(x)) 1/3
xx/(2-cos(x)) x/3
donc g(x) est encadré par x et x/3
Calculons les limites en x et x/3 quand x
-
lim x = -
x-
et lim x/3 = -
x-
Donc la limite de g(x) en - est -
C'est ça ?
Sachant que la fonction inverse est décroissante sur |R alors :
1
1/(2-cos(x)) 1/3
Jusque là c'est bon.
Ensuite tu multiplies tout par x, mais x est négatif (puisque tu vas le faire tendre vers -
)
Donc ... ?
Ah' oui ! c'est vrai!
1 1/(2-cos(x)) 1/3
Puisque que l'on fait tendre x vers - ce dernier est négatif, alors :
x x/(2-cos(x)) x/3
Ici ce n'est pas possible puisque le tiers de x ne peut pas etre supérieur à l'entier de x. A moins que, comme x est négatif et bien le tiers est supérieur.
ex : -1 -1/3
ou -30 -10
C'est ça ? Ou je fais encore fausse route?
Donc x x/(2-cos(x)) x/3
Donc g(x) est encadrée par x et x/3, calculons ses limites :
lim x = -
x-
et lim x/3 = -
x-
Puisque les deux encadrements tendent vers - alors g(x) tend vers -.
C'est ça?
Lorsque la limite est 
, et c'est le cas ici, tu n'as pas besoin d'utiliser le théorème d'encadrement. Le théorème de comparaison suffit :
Rappel:
si f(x)<g(x)
et limx
-g(x)=-
alors limx-f(x)=-
C'est du cours!
On a:
x/(2-cos(x)) x/3
Or :
lim x/3 = -
x-
Donc:
lim x/(2-cos(x)) = -
x-
je te disais que dans ce cas tu n'as pas besoin d'utiliser l'encadrement complet de la fonction pour en déduire sa limite
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