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Niveau seconde
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Calculs avec le nombre d or

Posté par
Mélie 23-04-05 à 11:18

Bonjour! Je n'arrive pas à faire ces exercices et j'aimerais que quelqu'un m'aide s'il-vous-plaît. Je vous remercie d'avance.

On sait que =(1+5)/2

1.)Démontrer que (-1)=1   <=ça c'est bon j'ai réussi à le faire.

2.)Utiliser l'égalité précédente pour exprimer 1/ en fonction de .

3.)Déduire de a) que le nombre d'or est solution de l'équation du second degré: x(au carré)-x-1=0
Vérifier que 1-est une autre solution de cette équation.

4.)Sachant que (au carré)=+1, calculer (au cube) en fonction de sous la forme  a+b, où a et b doivent être déterminés. Calculer de même (puissance4) et (puissance5).

Posté par
Nightmarere : Calculs avec le nombre d or 23-04-05 à 11:25

Bonjour

2) D'aprés 1) , \phi(\phi-1)=1 donc \phi-1=\frac{1}{\phi}

3) En développant l'égalité en 1 :
\phi(\phi-1)=1
<=>
\phi^{2}-\phi=1
<=>
\phi^{2}-\phi-1=0

D'ou \phi est bien solution de l'équation x²-x-1=0

On a :
(1-\phi)^{2}=1-2\phi+\phi^{2}
donc :
(1-\phi)^{2}-(1-\phi)-1=-2\phi+\phi^{2}-1+\phi
(1-\phi)^{2}-(1-\phi)-1=\phi^{2}-\phi-1
or comme \phi est solution de x^{2}-x-1=0 : \phi^{2}-\phi-1=0
donc
(1-\phi)^{2}-(1-\phi)-1=0
(1-\phi) est donc bien solution de l'équation

4)\phi^{3}=\phi(\phi+1)=\phi^{2}+\phi=\phi+1+\phi=2\phi+1

Je te laisse essayer de faire de même pour les autres puissances


jord

Posté par
rene38re : Calculs avec le nombre d or 23-04-05 à 11:26

Bonjour
2) Tu pars de l'égalité précédente (-1)=1
et tu multiplies les 2 membres par 1/

3) "Déduire de a)" Où est a) ?

Posté par
Méliere : Calculs avec le nombre d or 23-04-05 à 11:30

merci beaucoup! J'ai tout compris!

Posté par
siOkre : Calculs avec le nombre d or 23-04-05 à 11:32

Bonjour


Question 2
en divisant chaque membre par \phi
\phi - 1=\frac{1}{\phi}


Question 3
Il suffit de développer 1) et de "tout mettre" dans le premier membre

Tu remplaces x par 1 - \phi dans l'équaion x² - x - 1 = 0
Tu développes
et tu simplifies en utilisant  \phi^2 -\phi - 1 =0 (puisque \phi est soution de l'équation)


Question 4
\phi^2 =\phi + 1
en multipliant chaque membre par \phi
\phi^3 =\phi^2 + \phi
et en utilisant \phi^2 =\phi + 1
\phi^3 =(\phi +1) + \phi=2 \phi + 1


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