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Cantor-Bernstein
Posté par billy
bonjour, je dois démontrer le th de cantor-berstein (à savoir si il existe un fonction f injecitve de X dans Y et une fonction g injective de Y dans X alors il existe une bijection de H dans Y), j'ai trouvé sur internet une méthode mais je n'arrive pas à aller jusqu'au bout :
il faut prendre A0=X\g(Y)
et par récurrence : B n+1=f(An), A n+1=g(Bn)
puis prendre h égale à f sur l'union des An et à l'inverse de g sur X\UAn
J'arrive à montrer que h égale à f sur l'union des An est bijective mais je n'arrive pas à le montrer pour l'inverse de g sur X\UAn.
Pouvez-vous m'aider?
Bonjour billy
Justement h n'est pas bijective sur un bout, mais sur tout l'ensemble. Il y a aussi un problème dans ton énoncé; l'inverse de g n'a pas de sens, vu que g n'est probablement pas surjective (si elle l'est, le théorème est démontré!). Donc la première chose à faire est de démontrer que X\UAn est contenu dans g(Y) est de dire que pour un élément de cet ensemble on pose h(x)=y où y est le SEUL élément de Y tel que g(y)=x. Ensuite, je crois me souvenir que l'on définit k:Y
dans X par k=g sur la réunion des Bn et k, "inverse" de f comme ci-dessus sur le complémentaire. Après quoi on vérifie que k o h et h o k sont les identités respectives et donc que h et k sont des bijections réciproques.
Essayez; si ça ne marche pas, redemandez-moi et j'écrirai une démonstration complète.
déjà merci d'avoir pris le temps de me répondre. Mais je dois avouer que j'ai pas tout compris, alors je ne serai pas contre la démonstration complète.
Bonjour billy
Voilà:
D'abord si x n'est pas dans A, il n'est pas dans A0, donc il est bien dans g(Y) et h est bien définie. Ensuite la clé:
LEMME: La partie directe est évidente.
Pour la réciproque: supposons que h(x)est dans f(A) et que x n'est pas dans A. Alors il existe a dans A tel que h(x)=f(a) et h(x)=y=f(a) avec g(y)=x. Donc g(f(a))=x et, comme a est dans A, on a aussi x dans A, contradiction!
Démonstration du théorème. Soit k:YX définie par k(y)=g(y) si y n'est pas dans f(A) et, si y dans f(A), on prend pour k(x) le seul x de A tel que y=f(x).
On vérifie sans trop de difficultés (en tenant compte du lemme) que k o h=IdX et que h o k=IdY.
Bon courage!