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Caractère C^1 de (t^2/2pi-t)/2sin(t/2) sur (0 ; pi)
Bonjour à tous,
Je poste ce message pour solliciter votre aide afin de démontrer le caractère C^1 sur (0;pi) de la fonction g définie comme suit :
Soit h la fonction définie sur R par h(t)=(t^2/2pi)-t.
g est la fonction définie sur (0,pi) par :
- g(t)=h(t)/2sin(t/2) si t appartient à )0;pi), 0 exclu
- g(0)=-1 sinon
Pour le moment, j'ai réussi à démontrer les éléments suivants :
- g est continue sur (0;pi)
- g est dérivable sur )0,pi) et sur cet intervalle,
g'(t) = ((t/pi-1)(2sin(t/2))-(t^2/2pi-t)cos(t/2))/4sin^2(t/2)
- g' est continue sur )0,pi).
Par conséquent il ne me reste plus qu'à montrer que g' est continue en 0,
i.e. lim t --> 0 (g(t)-g(0))/t-0 = lim t--> 0 g'(t).
Mon problème est que je n'arrive ni à calculer la limite du taux d'accroissement en 0 de g, ni la limite de sa dérivée en 0...
Merci d'avance pour votre aide et bonne journée à tous,
Atchmou.
bonjour
déjà faut écrire correctement les expressions avec parenthèses indispensables
h(t)=(t^2/2pi)-t
ça veut dire
si tu veux écrire
tu écris
h(t)=t^2/(2pi)-t
] et g(0)=-1Bonjour matheuxmatou,
Merci pour tes éclaircissements, je ne suis pas très familier avec l'écriture mathématique sur ordinateur.
Oui, je connais les développements limités, mais j'ai du mal à voir en quoi ça pourrait m'aider ici... Je vois éventuellement l'intérêt d'utiliser le développement limité du sinus mais je ne sais pas vraiment à quelle expression (taux d'accroissement en 0, g', les deux ?).
Mais je ne peux faire des développements limités avec sinus qu'à l'ordre 1 et 3 vu que sinus est impaire non ?
J'ai fait un développement à l'ordre 1 et je trouve que la limite en 0 du taux d'accroissement vaut 1/2pi, tu as trouvé la même chose ?
????
à l'ordre 2
sin(u) = u + o(u²)
oui, je trouve cela aussi comme valeur de la dérivée en 0 : 1/(2pi)
les parenthèses bon sang
Donc maintenant je dois montrer que la limite en 0 de g' avec l'expression que j'ai trouvée est égale à 1/(2pi), c'est ça ? Si tel est le cas, j'ai aussi des difficultés à trouver cette limite...
... elle est juste !
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