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Cardinal et Denombrement
Bonsoir,
A l'aide des petits exemples que j'ai pris j'ai pu conjecturer la réponse de 1) mais je n'ai pas pu démontrer. J'ai besoin de votre aide.
Soit E un ensemble fini de cardinal n.
1) Déterminer le nombre de couples (X, Y) 
P(E)2 tels que X 
Y.
2) Déterminer le nombre de couples (X, Y) P(E)2 tels que X 
Y= 
.
1) j'ai conjecturer que c'est égale à 3n, mais je n'ai pas une idée de la démonstration.
salut
soit Y une partie Y de E
alors toute partie X de Y vérifie (trivialement) X Y
il suffit alors de raisonner sur le cardinal p de Y
pour toute partie X de E alors toute partie Y de son complémentaire vérifie X Y =
il suffit alors de raisonner sur le cardinal p de X
...
salut
on prond k elements de E pour former un ensemble Y de cardinal k , et on peut former dans cette ensemble des petits sous ensemble "X" au nombre de C(k,0)+ C(k,1)+...+C(k,k)=2k et ce autant de fois qu'il est possible de former d'ensembles "Y" soit 
C(n,k).2k = (1+2)n=3n
Pour 2 :
X étant donné dans E , soient F(X) l'ensemble des Z E qui contiennent X et G(X) l'ensemble des Y E tels que X 
Y = .
L'application ( G(X) , Y 
Y 
X , F(X)) est bijective
soit X une partie de E à p éléments et notons X* son complémentaire ...
les parties Y de E tels que X Y = 0 sont les parties de X*
d'après la question 1/ il y en a 3n - p
...
Pour 2 :
X étant donné dans E , soient F(X) l'ensemble des Z
E qui contiennent X et G(X) l'ensemble des Y E tels que X Y = .
L'application ( G(X) , Y
Y X , F(X)) est bijective
J'ai pu montrer la bijectivité, donc F(X) et G(X) sont equipotent et donc Card(F(X))=Card(G(X))?
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