Carré fractal

On considère un carré de coté 4 cm. (la figure ci-contre n'est pas en vraie grandeur) Première étape du coloriage : On partage ce carré en quatre carrés de même aire et on colorie le carré situé en bas à gauche comme indiqué. Deuxième étape du coloriage : On partage chaque carré non encore colorié en quatre carrés de même aire et on colorie dans chacun, le carré situé en bas à gauche, comme indiqué sur la figure. On poursuit les étapes du coloriage en continuant le même procédé. Pour tout entier naturel N, supérieur ou égal à 1, on désigne par AN l'aire, exprimée en cm², de la surface totale coloriée après N coloriages. On a ainsi A1 = 1. La surface coloriée sur la figure à la 2e étape a donc pour aire A2. a. Calculer A2, puis montrer que A3 = 37/16. Afficher les calculs.


b. On considère l'algorithme CARRE ci-contre.

Faire fonctionner cet algorithme pour N = 2 et N = 3. Que remarque-t-on ?


c. On admet que l'algorithme CARRE donne l'aire de la surface coloriée à l'étape N. Compléter le tableau suivant :

Étape N 4 5 6 7 8 9 10 20

AN à 0,01 près

d. Quel est le comportement de AN quand N prend des valeurs de plus en plus grandes ?

Donner une interprétation de ce résultat en rapport avec l'aire de la surface coloriée.



e. Déterminer à partir de quelle étape, plus de 99 % de la surface initiale soit coloriée.


Code photocopieuse
Dans un lycée, un code d'accès à la photocopieuse est attribué à chaque professeur. Ce code est un nombre à quatre chiffres choisis dans la liste {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, chaque chiffre pouvant être répété à l'intérieur d'un même code. b. Combien de codes peut-on ainsi former ?
Ce code permet aussi de définir un identifiant pour l'accès au réseau informatique. L'identifiant est constitué du code à quatre chiffres suivi d'une clé calculée à l'aide de l'algorithme ci-contre : c. Faire fonctionner l'algorithme CODE avec N = 2282 et vérifier que la clé qui lui correspond est 3
. d. Quelle est la clé du code 2009 ?
e. Un professeur s'identifie sur le réseau informatique en entrant le code 4732 suivi de la clé 7. L'accès lui est refusé. Le professeur est sûr des trois derniers chiffres du code et de la clé, l'erreur porte sur le premier chiffre du code (qui n'est donc pas égal à 4). Quel est ce premier chiffre ?