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Niveau seconde
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Cas d'isométries des triangles rectangles.

Posté par
Noa373
31-10-12 à 15:42

Bonjour à toutes et à tous,

J'ai un souci avec un exercice:

Démontrer que "si deux triangles rectangles ont l'hypoténuse et la hauteur relative à l'hypoténuse de même longueur, alors il sont isométriques".

Je me doute qu'il faut utiliser les cas d'isométries des triangles rectangles, donc soit HA, soit HC mais après... J'ai bien essayé en utilisant les relations métriques dans les triangles rectangles mais çà semble vraiment très long.

Auriez-vous une autre idée à me suggérer?

Merci beaucoup!

Posté par
gaa
re : Cas d'isométries des triangles rectangles. 31-10-12 à 16:14

Bonjour

tu écris que tu es en seconde, mais ta fiche se rapporte au niveau BTS

je te donne une solution niveau 1ère, donc plutôt BTS que seconde

un triangle rectangle ABC avec AH hauteur

l'aire de ce triangle peut s'écrire
S=AH*BC/2=AB*AC/2
donc le produit AB*AC est constant
par ailleurs tu connais Pythagore donc
AB²+AC²=BC²
et AB²+AC²=(AB+AC)²-2AB*AC
donc (AB+AC)²=BC²-2AB*AC  
les termes de droites sont constants donc (AB+AC)² est constant
donc AB+AC l'est aussi
donc on connait le produit P et la somme de AB+AC=S
Ils sont donc racines d'une équation
x²-Sx+p=0
il y a donc un seule couple de solutions et par conséquent les 2 triangles sont forcément égaux

Posté par
Noa373
re : Cas d'isométries des triangles rectangles. 31-10-12 à 22:38

Merci pour ta réponse rapide gaa.

En fait, l'exercice est pour un de mes cousins qui lui est en seconde et qui vient d'aborder les cas d'isométries des triangles rectangles. Il me parait donc naturel que l'exercice soit basé sur ces cas. J'arrivais effectivement à la même équation du second degré que toi, sans utiliser tout à fait le même argument mais je doute que ce soit ce qui est attendu.

Une autre idée?

Merci beaucoup pour votre aide!

Posté par
gaa
re : Cas d'isométries des triangles rectangles. 31-10-12 à 22:54

un triangle rectangle est inscrit dans un cercle, ici donc dans un cercle de diamètre [BC] qui est donc connu
le deux triangles sont donc forcément inscrit dans le même cercle

Si l'on trace un parallèle à (BC) distante de [AH[ de (BC) elle coupe le cercle en deux points
on a donc deux triangles ABC possibles
et démontrer que ces deux triangles sont égaux n'est pas très compliqué
(hypoténuse commune et deux côtés sous tendent des arcs égaux)



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